专题06 立体几何（解答题）（理）-学易金卷：三年（2021-2023）高考数学真题分项汇编（全国通用）

专题06 立体几何（解答题）（理） 知识点目录 知识点1：线面角 知识点2：二面角 知识点3：距离问题 知识点4：立体几何存在性问题 近三年高考真题 知识点1：线面角 1．（2023•甲卷（理））在三棱柱中，，底面，，到平面的距离为1． （1）求证：； （2）若直线与距离为2，求与平面所成角的正弦值． 2．（2022•浙江）如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为．设，分别为，的中点． （Ⅰ）证明：； （Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值． 3．（2022•甲卷（理））在四棱锥中，底面，，，，． （1）证明：； （2）求与平面所成的角的正弦值． 4．（2022•北京）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，，分别为，的中点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线与平面所成角的正弦值． 条件①：； 条件②：． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 5．（2022•乙卷（理））如图，四面体中，，，，为的中点． （1）证明：平面平面； （2）设，，点在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值． 6．（2021•上海）如图，在长方体中，已知，． （1）若是棱上的动点，求三棱锥的体积； （2）求直线与平面的夹角大小． 7．（2021•浙江）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，，，，分别为，的中点，，． （Ⅰ）证明：； （Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值． 知识点2：二面角 8．（2023•北京）如图，四面体中，，，平面． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求二面角的大小． 9．（2023•乙卷（理））如图，在三棱锥中，，，，，，，，的中点分别为，，，点在上，． （1）证明：平面； （2）证明：平面平面； （3）求二面角的正弦值． 10．（2022•天津）直三棱柱中，，，，为中点，为中点，为中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面的正弦值； （3）求平面与平面夹角的余弦值． 11．（2023•上海）已知直四棱柱，，，，，． （1）证明：直线平面； （2）若该四棱柱的体积为36，求二面角的大小． 12．（2023•新高考Ⅱ）如图，三棱锥中，，，，为中点． （1）证明； （2）点满足，求二面角的正弦值． 13．（2022•新高考Ⅱ）如图，是三棱锥的高，，，为的中点． （1）证明：平面； （2）若，，，求二面角的正弦值． 14．（2022•新高考Ⅰ）如图，直三棱柱的体积为4，△的面积为． （1）求到平面的距离； （2）设为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值． 15．（2021•天津）如图，在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求二面角的正弦值． 16．（2021•新高考Ⅱ）在四棱锥中，底面是正方形，若，，． （Ⅰ）求证：平面平面； （Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值． 17．（2021•乙卷（理））如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为中点，且． （1）求； （2）求二面角的正弦值． 18．（2021•新高考Ⅰ）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点． （1）证明：； （2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积． 知识点3：距离问题 19．（2023•天津）在三棱台中，若平面，，，，，分别为，中点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求平面与平面所成角的余弦值； （Ⅲ）求点到平面的距离． 知识点4：立体几何存在性问题 20．（2023•新高考Ⅰ）如图，在正四棱柱中，，．点，，，分别在棱，，，上，，，． （1）证明：； （2）点在棱上，当二面角为时，求． 21．（2021•北京）如图，在正方体，为的中点，交平面交于点． （Ⅰ）求证：为的中点； （Ⅱ）若点是棱上一点，且二面角的余弦值为，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 立体几何（解答题）（理） 知识点目录 知识点1：线面角 知识点2：二面角 知识点3：距离问题 知识点4：立体几何存在性问题 近三年高考真题 知识点1：线面角 1．（2023•甲卷（理））在三棱柱中，，底面，，到平面的距离为1． （1）求证：； （2）若直线与距离为2，求与平面所成角的正弦值． 【解析】（1）证明：取的中点，连接， 底面，底面， ，，， 底面，底面， ，，， ，平面， 平面，平面平面， 到平面的距离为1， 到的距离为1， ， ； （2）过作交的延长线与，连接， 取的中点，连接， 四边形为平行四边形， 平面， ，平面， 平面， ， ， 为直线与距离， ，， 由（1）可知平面， 为与平面所成角的角， 易求得， ， ，， ． 与