专题06 立体几何（解答题）（文）-学易金卷：三年（2021-2023）高考数学真题分项汇编（全国通用）

专题06 立体几何（解答题）（文） 知识点目录 知识点1：线面角 知识点2：直接法求体积问题 知识点3：换底法求体积问题 知识点4：割补法求体积问题 知识点5：距离及几何体的高问题 近三年高考真题 知识点1：线面角 1．（2023•甲卷（理））在三棱柱中，，底面，，到平面的距离为1． （1）求证：； （2）若直线与距离为2，求与平面所成角的正弦值． 2．（2021•上海）如图，在长方体中，已知，． （1）若是棱上的动点，求三棱锥的体积； （2）求直线与平面的夹角大小． 知识点2：直接法求体积问题 3．（2023•乙卷（文））如图，在三棱锥中，，，，，，，的中点分别为，，，点在上，． （1）求证：平面； （2）若，求三棱锥的体积． 4．（2022•乙卷（文））如图，四面体中，，，，为的中点． （1）证明：平面平面； （2）设，，点在上，当的面积最小时，求三棱锥的体积． 5．（2021•甲卷（文））已知直三棱柱中，侧面为正方形，，，分别为和的中点，． （1）求三棱锥的体积； （2）已知为棱上的点，证明：． 6．（2021•乙卷（文））如图，四棱锥的底面是矩形，底面，为的中点，且． （1）证明：平面平面； （2）若，求四棱锥的体积． 7．（2021•上海）四棱锥，底面为正方形，边长为4，为中点，平面． （1）若为等边三角形，求四棱锥的体积； （2）若的中点为，与平面所成角为，求与所成角的大小． 知识点3：换底法求体积问题 8．（2021•新高考Ⅰ）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点． （1）证明：； （2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积． 知识点4：割补法求体积问题 9．（2022•甲卷（文））小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒．包装盒如图所示：底面是边长为8（单位：的正方形，，，，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面垂直． （1）证明：平面； （2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）． 知识点5：距离及几何体的高问题 10．（2023•甲卷（文））如图，在三棱柱中，平面，． （1）证明：平面平面； （2）设，，求四棱锥的高． 11．（2023•上海）已知三棱锥中，平面，，，，为中点，过点分别作平行于平面的直线交、于点，． （1）求直线与平面所成角的大小； （2）求直线到平面的距离． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 立体几何（解答题）（文） 知识点目录 知识点1：线面角 知识点2：直接法求体积问题 知识点3：换底法求体积问题 知识点4：割补法求体积问题 知识点5：距离及几何体的高问题 近三年高考真题 知识点1：线面角 1．（2023•甲卷（理））在三棱柱中，，底面，，到平面的距离为1． （1）求证：； （2）若直线与距离为2，求与平面所成角的正弦值． 【解析】（1）证明：取的中点，连接， 底面，底面， ，，， 底面，底面， ，，， ，平面， 平面，平面平面， 到平面的距离为1， 到的距离为1， ， ； （2）过作交的延长线与，连接， 取的中点，连接， 四边形为平行四边形， 平面， ，平面， 平面， ， ， 为直线与距离， ，， 由（1）可知平面， 为与平面所成角的角， 易求得， ， ，， ． 与平面所成角的正弦值为． 【点评】本题考查线线相等的证明，考查线面角的求法，属中档题． 2．（2021•上海）如图，在长方体中，已知，． （1）若是棱上的动点，求三棱锥的体积； （2）求直线与平面的夹角大小． 【解析】（1）如图，在长方体中，； （2）连接， ， 四边形为正方形，则， 又，， 平面， 直线与平面所成的角为， ． 直线与平面所成的角为． 【点评】本题考查三棱锥体积的求法，考查线面角的求解，考查推理能力及运算能力，属于中档题． 知识点2：直接法求体积问题 3．（2023•乙卷（文））如图，在三棱锥中，，，，，，，的中点分别为，，，点在上，． （1）求证：平面； （2）若，求三棱锥的体积． 【解析】 （1）证明：在中，作，垂足为，设，则， 因为，所以，所以，即，解得， 又因为，所以，且， 所以，所以，即，解得， 即，所以是的中点，是的中点， 又因为是的中点，所以，同理，，所以， 又因为平面，平面， 所以平面； （2）过作垂直的延长线交于点，因为，是中点，所以，在中，，，所以， 因为，，所以，又，，平面，所以平面， 又平面，所以， 又，，平面， 所以平面，即三棱锥的高为， 因为，所以， 所以， 的面积为， 所以三棱锥的体积为． 【点评】本题考查了直线与平面平行的应用问题，也考查了几何体体积计算问题，是中档题． 4．（2022•乙卷（文））如图，四面体