重难点05轴对称之“将军饮马”模型-【暑假自学课】2023年新八年级数学暑假精品课（苏科版）

重难点05轴对称之“将军饮马”模型 1.识别几何模型。 2.利用“将军饮马”模型解决问题 如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？ 如图，在直线上找一点P使得PA+PB最小？ 这个问题的难点在于PA+PB是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段． 【模型解析】 作点A关于直线的对称点A’，连接PA’，则PA’=PA，所以PA+PB=PA’+PB 当A’、P、B三点共线的时候，PA’+PB=A’B，此时为最小值（两点之间线段最短） 类型一：两定一动之点点 在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小． 此处M、N均为折点，分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB（折点N所在直线）的对称点，化折线段PM+MN+NP为P’M+MN+NP’’，当P’、M、N、P’’共线时，△PMN周长最小． 类型二：两定两动之点点 在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ的周长最小。 考虑PQ是条定线段，故只需考虑PM+MN+NQ最小值即可，类似，分别作点P、Q关于OA、OB对称，化折线段PM+MN+NQ为P’M+MN+NQ’，当P’、M、N、Q’共线时，四边形PMNQ的周长最小。 类型三：一定两动之点线 在OA、OB上分别取M、N使得PM+MN最小。 此处M点为折点，作点P关于OA对称的点P’，将折线段PM+MN转化为P’M+MN，即过点P’作OB垂线分别交OA、OB于点M、N，得PM+MN最小值（点到直线的连线中，垂线段最短） 一．选择题（共5小题） 1．（2021秋•苏州期末）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，2），点B（﹣5，6），在x轴上确定点C，使得△ABC的周长最小，则点C的坐标是（　　） A．（﹣4，0） B．（﹣3，0） C．（﹣2，0） D．（﹣2.5，0） 2．（2022秋•江都区月考）如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝3，S△ABC＝6，AD⊥BC于点D，EF是AB的垂直平分线，交AB于点E，交AC于点F，在EF上确定一点P，使PB+PD最小，则这个最小值为（　　） A．3.5 B．4 C．4.5 D．5 3．（2020秋•如皋市期末）如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD＝BC，P为直线BC上方的一个动点，△PBC的面积等于△ABC的面积的，则当PB+PC最小时，∠PBC的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 4．（2021秋•如皋市期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，D为AB上一动点，DE∥AC，DE＝2，则AE+CE的最小值等于（　　） A．4 B．2 C．3 D．+2 5．（2022秋•如东县期末）如图，边长为a的等边△ABC中，BF是AC上中线且BF＝b，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，则△AEF周长的最小值是（　　） A． B． C．a+b D．a 二．填空题（共5小题） 6．（2022秋•句容市月考）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD是∠BAC的角平分线，若E，F分别是AD和AC上的动点，则EC+EF的最小值是 　 　． 7．（2021秋•如皋市月考）如图，等边△ABC的边长为6，AD是高，F是边AB上一动点，E是AD上一动点，则BE+EF的最小值为 　 　． 8．（2022秋•镇江期中）如图，在△BCD中，∠BDC＝90°，∠DBC＝30°，射线CN平分∠BCD，AB∥CD，AB＝10，BD＝24，点F为BC的中点，点M为射线CN上一动点，则MF+MA的最小值为 　 　． 9．（2022秋•江宁区校级月考）如图，等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D为BC的中点，AD＝2，若P为AB上一个动点，则PC+PD的最小值为　 　． 10．（2022秋•海安市期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC＝2，点E为射线AC上的动点，DE∥AB，且DE＝2．当AD+BD的值最小时，∠DBC的度数为 　 　． 三．解答题（共8小题） 11．（2022秋•苏州期中）（1）如图，河道上A，B两点（看作直线上的两点）相距200米，C，D为两个菜园（看作两个点），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A，B，AD＝80米，BC＝70米，现在菜农要在AB上确定一个抽水点P，使得抽水点P到两个菜园C，D的距离和最短．请在图中作出点P，保留作图痕迹，并求出PC+PD的最小值． （2）借助上面的思考过程，请直接写出