第11讲 平方根与立方根（5种题型）-【暑假自学课】2023年新八年级数学暑假精品课（苏科版）

第11讲 平方根与立方根（5种题型） 1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根． 2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根． 3. 了解立方根的含义； 4. 会表示、计算一个数的立方根，会用计算器求立方根. 一．平方根 （1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根． 一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根． （2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方． 一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“”． 正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作．零的算术平方根仍旧是零． 平方根和立方根的性质 1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0． 二．算术平方根 （1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为． （2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数． （3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找． 三．非负数的性质：算术平方根 （1）非负数的性质：算术平方根具有非负性． （2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题． 四．立方根 （1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：． （2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根． （3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数． 注意：符号a3中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根． 【规律方法】平方根和立方根的性质 1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0． 五．计算器—数的开方 正数a的算术平方根a与被开方数a的变化规律是： 当被开方数a的小数点每向左或向右平移2位时，它的算术平方根的小数点也相应向左或向右平移1位，即a每扩大（或缩小）100倍，a相应扩大（或缩小）10倍． 一．平方根（共6小题） 1．（2022秋•泗阳县期末）16的平方根是（　　） A．4 B．±4 C．2 D．±2 2．（2023•沛县三模）64的平方根是 　 　． 3．（2022秋•高邮市期末）若﹣m是a的平方根，则（　　） A．m＝a2 B．m2＝a C．m＝﹣a2 D．﹣m2＝a 4．（2022秋•常州期末）已知2（x﹣1）2＝18，求x的值． 5．（2022秋•苏州期末）求方程中x的值：（x﹣2）2＝3． 6．（2021秋•常熟市校级月考）求下列各式中x的取值： （1）2x2﹣8＝0． （2）4（2x﹣1）2＝9． 二．算术平方根（共10小题） 7．（2022秋•南京期末）4的平方根是（　　） A． B．± C．2 D．±2 8．（2018秋•秦淮区期末）3的算术平方根是（　　） A．± B． C．﹣ D．9 9．（2022秋•玄武区期末）13的平方根是 　 　；9的算术平方根是 　 　． 10．（2022秋•太仓市期末）面积为2cm2的正方形的边长为　 　 cm． 11．（2022秋•秦淮区月考）实数4的平方根是（　　） A．2 B．﹣2 C． D．±2 12．（2023•淮阴区模拟）计算：＝　 　． 13．（2022秋•吴江区校级月考）已知2a﹣1的算术平方根为3，3a+b﹣1的算术平方根为4，求a+2的平方根． 14．（2022秋•高新区校级期中）已知±是2a﹣1的平方根，3是3a+2b﹣3的算术平方根，求a+2b的平方根． 15．（2022秋•建湖县期中）小明的爸爸打算用如图一块面积为900cm2的正方形木板，沿着边的方向裁出一个长方形面积为768cm2的桌面． （1）求正方形工料的边长； （2）若要求裁出的桌面的长宽之比为4：3，你认为小明的爸爸能做到吗？如果能，计算出桌面的长和宽；如果不能，说明理由． 16．（2022秋•海陵区校级月考）我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两