第08讲 含30°角的直角三角形与斜边上的中线-【暑假自学课】2023年新八年级数学暑假精品课（苏科版）

第08讲 含30度直角三角形与斜边上的中线 重难点：含30度角的直角三角形的性质定理和直角三角形斜边上中线的发现与证明 一．含30度角的直角三角形 （1）含30度角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半． （2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数． （3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用； ②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边． 二．直角三角形斜边上的中线 （1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） （2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形． 该定理可以用来判定直角三角形． 一．含30度角的直角三角形（共13小题） 1．（2022秋•如皋市校级期末）如图，小明沿倾斜角∠ABC＝30°的山坡从山脚B点步行到山顶A，共走了500m，则山的高度AC是 　 　． 2．（2022秋•泰州月考）如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（　　） A．1.8 B．2.2 C．3.5 D．3.8 3．（2022秋•兴化市月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，点D是AC上一点，连接BD，∠DBC＝60°，BC＝4，则AD长是（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 4．（2022秋•无锡期末）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，CD是AB边上的高．若AB＝10，则CD＝　 　． 5．（2022秋•溧水区期末）证明：直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半． 已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，　 　． 求证：　 　． 证明：　 　． 6．（2022秋•锡山区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝15cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为（　　） A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm 7．（2022秋•江都区月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝4，D为BC上一动点，EF垂直平分AD分别交AC于E、交AB于F，则BF的最大值为 　 　． 8．（2022秋•东台市期中）如图，△ABC是边长为8的等边三角形，D是BC上一点，BD＝3，DE⊥BC交AB于点E，则线段AE＝　 　． 9．（2022秋•南通期末）如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC＝2cm，点P从点B开始以1cm/s的速度向点C移动，当△ABP为直角三角形时，则运动的时间为（　　） A．3s B．3s或4s C．1s或4s D．2s或3s 10．（2022秋•崇川区校级月考）如图，等边△ABC中，AB＝4，点P在边AB上，PD⊥BC，DE⊥AC，垂足分别为D、E，设PA＝x，若用含x的式子表示AE的长，正确的是（　　） A．2﹣x B．3﹣x C．1 D．2+x 11．（2022秋•兴化市校级月考）如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝16，点M、N在边OB上，PM＝PN，若MN＝4，则OM＝　 　． 12．（2022秋•江宁区校级月考）如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝10，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM＝　 　． 13．（2022秋•涟水县期中）如图，已知∠AOB＝60°，点P在OA边上，OP＝12cm，点EF在边OB上，且PE＝PF，若EF＝2cm，则OE＝　 　cm． 二．直角三角形斜边上的中线（共10小题） 14．（2022秋•鼓楼区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝54°，D是AB的中点，则∠BCD＝　 　°． 15．（2022秋•鼓楼区校级期末）若直角三角形斜边上的高是3，斜边上的中线是6，则这个直角三角形的面积是 　 　． 16．（2022秋•海陵区校级期末）直角三角形的两条直角边长为5和12，则斜边上的中线长是 　 　． 17．（2022秋•兴化市校级期末）如图，在△ABC中，CF⊥AB于点F，BE⊥AC于点E，M为BC的中点． （1）求证：△MEF是等腰三角形； （2）若∠EBC＝30°，BC＝10cm，求CE的长度． 18．（2022秋•兴化市期末）如图，△ABC中，AD是边BC