专题3.5 指数与指数函数（讲+练）-备战2024年高考数学大一轮复习核心考点精讲精练（新高考专用）

专题3.5 指数与指数函数 【核心素养】 1.以指数函数为载体，考查函数的单调性、待定系数法、换元法等，凸显直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养． 2. 与不等式、方程等相结合考查函数的图象、单调性、奇偶性，凸显分类讨论思想、数形结合思想的应用及数学运算的核心素养． 3. 与对数函数、不等式、方程等结合，考查函数的实际应用以及函数性质的综合应用，凸显直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养． 知识点一 根式和分数指数幂 1．n次方根 定义 一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的__n次方根__，其中n＞1，且n∈N* 个数 n是奇数 a＞0 x＞0 x仅有一个值，记为 a＜0 x＜0 n是偶数 a＞0 x有两个值，且互为相反数，记为± a＜0 x不存在 2.根式 (1)概念：式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数. (2)性质： ①()n＝a. ②＝ 3.分数指数幂 (1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a－＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义. (2)有理指数幂的运算性质：aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q. 知识点二 指数函数的图象和性质 1.概念：函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是变量，函数的定义域是R，a是底数. 2.指数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 当x<0时，y>1； 当x>0时，0<y<1 在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数 常考题型剖析 题型一：根式、指数幂的化简与求值 【典例分析】 例1-1. （2023·全国·高三专题练习）化简的结果为（　　） A． B． C． D． 例1-2. （2023·全国·高三专题练习）计算：①＝________. ②＝________. 【规律方法】 1.化简原则：①化根式为分数指数幂；②化负指数幂为正指数幂；③化小数为分数；④注意运算的先后顺序． 2.结果要求：①若题目以根式形式给出，则结果用根式表示；②若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂的形式表示；③结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又有负分数指数幂． 【变式训练】 变式1-1. 计算：×0＋×－＝________. 变式1-2. （2023·全国·高三专题练习）计算化简： （1）＝________； （2）＝________. 题型二：根式、指数幂的条件求值 例2-1.（2023·全国·高三专题练习）已知，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 例2-2. 已知，求下列各式的值. （1）；（2）；（3） 【规律方法】 根式、指数幂的条件求值，是代数式求值问题的常见题型，一般步骤是： (1)审题：从整体上把握已知条件和所求代数式的形式和特点； (2)化简：①化简已知条件；②化简所求代数式； （3）求值：往往通过整体代入，简化解题过程.如本题求值问题实质上考查整体思想，考查完全平方公式、立方和（差）公式的应用，如，，，解题时要善于应用公式变形． 【变式训练】 变式2-1. （2022·北京·统考高考真题）已知函数，则对任意实数x，有（    ） A． B． C． D． 变式2-2.设，求 的值． 题型三：指数函数的解析式、求值 【典例分析】 例3-1．（2023·上海杨浦·复旦附中校考模拟预测）若函数为偶函数， 且当时，， 则________. 例3-2．（2023·全国·高三专题练习）设函数，且，，则的解析式为____________． 【方法技巧】 1.确定函数的解析式，常常利用“待定系数法”. 2.求指数函数相关函数值，可以先求解析式，再求值，也可以利用函数的其它性质，如函数的奇偶性，如例3-2. 【变式训练】 变式3-1. （2023·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数是奇函数，函数为偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 变式3-2. （2023·全国·高三专题练习）已知函数是定义域为的奇函数，且当时，．求函数的解析式. 题型四：指数函数相关定义域、值域问题 【典例分析】 例4-1. 【多选题】（2023·全国·高三专题练习）对任意实数，函数的图象必过定点，的定义域为[0，2]，，则下列结论正确的是（ ） A．， B．的定义域为[0，1] C．的值域为[2，6] D．的值