专题09 二次函数与一元二次方程、不等式-【高中第一步】2023年暑假初升高数学完美衔接精品课（人教A版2019）

【高中第一步】2023年暑假初升高完美衔接精品课（人教A版2019） 专题09 二次函数与一元二次方程、不等式 考点目录 考点一 解不含参数的一元二次不等式 考点二 一元二次不等式与根与系数关系的交汇 考点三 简单分式不等式的解法 考点四 解含参数的一元二次不等式 考点五 实际问题中的一元二次不等式问题 考点六 一元二次不等式中的恒成立问题 1.会结合一元二次函数的图像，判断一元二次方程实根的存在性及实根个数，了解函数的零点与方程根的关系． 2.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义，能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集． 3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系 一、一元二次不等式的概念 一般地，我们把只含有一个末知数，并且末知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如或(其中a，b，c均为常数，的不等式都是一元二次不等式． 二、二次函数的零点 一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的零点. 三、一元二次不等式的解集的概念 使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集． 四、二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集. 二次函数 （）的图象 有两相异实根 有两相等实根 无实根 注：（1）一元二次方程的两根是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线与轴的交点的横坐标； （2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决； （3）解集分三种情况，得到一元二次不等式与的解集. 五、利用不等式解决实际问题的一般步骤 (1)选取合适的字母表示题中的未知数； (2)由题中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)； (3)求解所列出的不等式(组)； (4)结合题目的实际意义确定答案． 六、简单的分式不等式的解法 系数化为正，大于取“两端”，小于取“中间” 七、一元二次不等式恒成立问题 (1)转化为一元二次不等式解集为的情况，即恒成立恒成立 (2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题. 【常用结论】 解一元二次不等式的一般步骤 1.通过对不等式变形，使二次项系数大于零； 2.计算对应方程的判别式； 3.求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； 4.根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集． 考点一：解不含参数的一元二次不等式 例1：（2023秋·福建宁德·高一福建省霞浦第一中学校考期末）解下列不等式： (1)； (2)． 【详解】（1）因为，所以的解集为； （2）因为，所以的解集为； 考点二：一元二次不等式与根与系数关系的交汇 例2：（2023·高一课时练习）已知不等式的解集是，求a，c的值. 【详解】由于不等式的解集是，所以和是的两个根，由韦达定理可得且，解得， 考点三：简单分式不等式的解法 例3：（2023秋·高一课时练习）解不等式： (1)； (2)． 【详解】（1）由得， 解得或， ∴原不等式的解集为或. （2）由得，即， 即且， 解得或. ∴原不等式的解集为或． 考点四：解含参数的一元二次不等式 例4：（2023·高一单元测试）解关于x的不等式. 【详解】原不等式变为， ①当时，原不等式可化为， 所以当时，解得； 当时，解集为； 当时，解得 ②当时，原不等式等价于，即. ③当时，，原不等式可化为， 解得或. 综上，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为或. 考点五：实际问题中的一元二次不等式问题 例5：（2023秋·广东广州·高一校考期末）百年以来，从伟大斗争中提炼伟大精神并引领新的伟大斗争，是我们党的优良传统．这场史无前例、举世瞩目的脱贫攻坚伟大斗争，不仅取得了近1亿人脱贫的伟大物质成就，也铸就了激励14亿人继续乘风破浪前进的伟大精神成果．习近平总书记在全国脱贫攻坚总结表彰大会上总结了“上下同心、尽锐出战、精准务实、开拓创新、攻坚克难、不负人民”的脱贫攻坚精神．在脱贫攻坚过程中，某地县乡村三级干部在帮扶走访中得知某贫困户的实际情况后，为他家量身定制了脱贫计划，政府无息贷款10万元给该农户养羊，每万元可创造利润0.15万元若进行技术指导，养羊的投资减少了万元，且每万元创造的利润变为原来的倍．现将养羊少投资的x万元全部投资网店，进行农产品销售，则每万元创造