课时达标检测(22) 奇偶性-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

课时达标检测(二十二)　奇偶性 基础达标 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、单项选择题 1.下列函数是奇函数的是 (D) A.y= B.y=-3x2 C.y=-|x| D.y=πx3-x 解析　先判断函数的定义域是否关于原点对称,再确定f(-x)与f(x)的关系。选项A中函数的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞),不关于原点对称,所以排除A;选项B,C中函数的定义域均是R,且函数均是偶函数;选项D中函数的定义域是R,且f(-x)=-f(x),所以此函数是奇函数。 2.如图,给出奇函数y=f(x)的部分图象,则f(-2)+f(-1)的值为 (A) A.-2 B.2 C.1 D.0 解析　f(-2)+f(-1)=-f(2)-f(1)=--=-2。 3.已知函数f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么a+b的值是 (B) A.- B. C. D.- 解析　依题意b=0,且2a=-(a-1),所以a=,则a+b=。 4.如果奇函数f(x)在区间[-3,-1]上单调递增且有最大值5,那么函数f(x)在区间[1,3]上 (A) A.单调递增且最小值为-5 B.单调递增且最大值为-5 C.单调递减且最小值为-5 D.单调递减且最大值为-5 解析　因为f(x)为奇函数,所以f(x)在[1,3]上的单调性与[-3,-1]上一致且f(1)为最小值,又已知f(-1)=5,所以f(-1)=-f(1)=5,所以f(1)=-5。 5.设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是 (A) A.f(x)+|g(x)|是偶函数 B.f(x)-|g(x)|是奇函数 C.|f(x)|+g(x)是偶函数 D.|f(x)|-g(x)是奇函数 解析　由f(x)是偶函数,可知f(-x)=f(x),由g(x)是奇函数,可知g(-x)=-g(x),所以f(-x)+|g(-x)|=f(x)+|-g(x)|=f(x)+|g(x)|,所以f(x)+|g(x)|为偶函数。故选A。 6.偶函数y=f(x)在区间[0,4]上单调递减,则有 (A) A.f(-1)>f>f(-π) B.f>f(-1)>f(-π) C.f(-π)>f(-1)>f D.f(-1)>f(-π)>f 解析　因为f(x)为偶函数,所以f(-π)=f(π),f(-1)=f(1)。因为f(x)在区间[0,4]上单调递减,所以f(1)>f>f(π),所以f(-1)>f>f(-π)。 二、多项选择题 7.一个偶函数定义在区间[-7,7]上,它在[0,7]上的图象如图所示,下列说法正确的是 (AC) A.这个函数有三个单调递增区间 B.这个函数有两个单调递减区间 C.这个函数在其定义域内有最大值7 D.这个函数在其定义域内有最小值-7 解析　根据偶函数在[0,7]上的图象及其对称性,作出函数在[-7,0]上的图象,如图所示,可知这个函数有三个单调递增区间;有三个单调递减区间;在其定义域内有最大值是7;在其定义域内最小值不是-7。 8.对于函数f(x)=ax3+bsin x+c(a,b∈R,c∈Z),选取a,b,c的一组值去计算f(-1)和f(1),所得出的正确结果可能是 (ABD) A.2和6 B.3和9 C.4和11 D.5和13 解析　函数f(x)=ax3+bsin x+c,所以f(1)=a+bsin 1+c,f(-1)=-a-bsin 1+c,所以得到f(1)+f(-1)=2c,因为c∈Z,所以f(1)+f(-1)为偶数,故四个选项中符合要求的为A,B,D。 三、填空题 9.1837年之前,人们普遍认为函数是用数字符号和运算组成的表达式,德国数学家狄利克雷放弃了这个观点,他抓住了函数概念的本质——“对应规律”,提出了y=f(x)是x和y之间的一种对应的现代数学观点。他还创造了著名的狄利克雷函数,即D(x)=则D(x)的值域是 {0,1} ,奇偶性是 偶函数 。  解析　当x为有理数时,函数值为1;当x不是有理数时,函数值为0,故值域为{0,1}。若x为有理数,则-x也为有理数;当x不是有理数,则-x也不是有理数,故该函数为偶函数。 10.若函数f(x)=为奇函数,则a= -1 。  解析　因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x),即=-,显然x≠0,整理得x2-(a+1)x+a=x2+(a+1)x+a,故a+1=0,解得a=-1。 11.已知偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递减,f(2)=0,若f(x-1)>0,则x的取值范围是 (-1,3) 。  解析　因为f(x)为偶函数,所以f(x-1)=f(|x-1|),又f(2)=0,f(x-1)>0,所以f(|x-1|)>f(2)。因为|x-1|,2∈[0,+∞),且f(x)在[0,+∞)上单调递减,所以