课时达标检测(21) 函数的最大(小)值-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

课时达标检测(二十一)　函数的最大(小)值 基础达标 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、单项选择题 1.函数y=f(x)(-2≤x≤2)的图象如图所示,则函数的最大值、最小值分别为 (C) A.f(2),f(-2) B.f,f(-1) C.f,f D.f,f(0) 解析　根据函数最值定义,结合函数图象可知,当x=-时,有最小值f-;当x=时,有最大值f。 2.函数y=x2-2x+2在区间[-2,3]上的最大值、最小值分别是 (B) A.10,5 B.10,1 C.5,1 D.以上都不对 解析　因为y=x2-2x+2=(x-1)2+1,且x∈[-2,3],所以当x=1时,ymin=1,当x=-2时,ymax=(-2-1)2+1=10。故选B。 3.函数f(x)=x+,x∈[0,4]的值域为 (C) A.[0,3] B.[1,4] C.[0,6] D.[0,4] 解析　因为函数f(x)=x+在区间[0,4]上单调递增,所以f(x)∈[f(0),f(4)]=[0,6]。 4.函数f(x)=的最大值为 (B) A.1 B.2 C. D. 解析　当x≥1时,函数f(x)=为减函数,此时f(x)在x=1处取得最大值,最大值为f(1)=1;当x<1时,函数f(x)=-x2+2在x=0处取得最大值,最大值为f(0)=2。综上可得,f(x)的最大值为2。故选B。 5.函数f(x)=的最大值是 (C) A. B. C. D. 解析　因为1-x(1-x)=x2-x+1=+≥,所以≤。故f(x)的最大值为。 二、多项选择题 6.若x∈R,f(x)是y=2-x2,y=x这两个函数中的较小者,则f(x)有 (BD) A.最大值为2 B.最大值为1 C.最小值为-1 D.无最小值 解析　在同一平面直角坐标系中画出函数y=2-x2,y=x的图象,如图所示。根据题意,图中实线部分即为函数f(x)的图象。当x=1时,f(x)取得最大值,且f(x)max=1,由图象知f(x)无最小值。故选BD。 7.若函数f(x)=x2-4x+1在定义域A上的值域为[-3,1],则区间A可能为 (ABC) A.[0,4] B.[2,4] C.[1,4] D.[-3,5] 解析　因为函数f(x)=x2-4x+1的图象是开口向上的抛物线,以直线x=2为对称轴,所以函数f(x)在区间(-∞,2)上单调递减,[2,+∞)上单调递增。当x∈[0,4]时,函数的最小值为f(2)=-3,最大值为f(0)=f(4)=1,得函数的值域为[-3,1];当x∈[2,4]时,函数的最小值为f(2)=-3,最大值为f(4)=1,得函数的值域为[-3,1];当x∈[1,4]时,函数的最小值为f(2)=-3,因为f(1)=-2<f(4)=1,所以最大值为f(4)=1,得函数的值域为[-3,1];当x∈[-3,5]时,最小值为f(2)=-3,因为f(-3)=22>f(5)=6,所以最大值为f(-3)=22,得函数的值域为[-3,22]。根据以上的讨论可得区间A不可能为[-3,5]。 三、填空题 8.函数y=ax+1在区间[1,3]上的最大值为4,则a= 1 。  解析　若a<0,则函数y=ax+1在区间[1,3]上单调递减,并且在区间的左端点处取得最大值,即a+1=4,解得a=3,不满足a<0,舍去;若a>0,则函数y=ax+1在区间[1,3]上单调递增,并且在区间的右端点处取得最大值,即3a+1=4,解得a=1。综上,a=1。 9.函数f(x)=,x∈[1,2],则f(x)的最大值为 - ,最小值为 -1 。  解析　因为f(x)=在[1,2]上单调递减,所以f(2)≤f(x)≤f(1),即-1≤f(x)≤-。 10.函数y=-x2+6x+9在区间[a,b](a<b<3)上有最大值9,最小值-7,则a= -2 ,b= 0 。  解析　y=-(x-3)2+18,因为a<b<3,所以函数y在区间[a,b]上单调递增,即-b2+6b+9=9,解得b=0(b=6不合题意,舍去)。-a2+6a+9=-7,解得a=-2(a=8不合题意,舍去)。 四、解答题 11.求函数f(x)=在区间[2,5]上的最大值与最小值。 解　任取2≤x1<x2≤5,则f(x2)-f(x1)=-=。 因为2≤x1<x2≤5, 所以x1-x2<0,x2-1>0,x1-1>0。 所以f(x2)-f(x1)<0,即f(x2)<f(x1)。 所以f(x)=在区间[2,5]上是减函数。 所以f(x)max=f(2)==2, f(x)min=f(5)==。 12.若二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=2。 (1)求f(x)的解析式; (2)若在区间[-1,1]上,不等式f(x)>2x+m恒成立,求实数m的取值范围。