课时达标检测(15) 一元二次不等式的应用-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

课时达标检测(十五)　一元二次不等式的应用 基础达标 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、单项选择题 1.若p:≥0,q:x2-7x+10<0,则p是q的 (B) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.不等式≥1的解集是 (B) A. 　B. C. 　D. 解析　不等式≥1,移项得-1≥0,即≤0,可化为或解得≤x<2,则原不等式的解集为。故选B。 3.不等式<2的解集为 (A) A.{x|x≠-2} B.R C.⌀ D.{x|x<-2或x>2} 解析　因为x2+x+1>0恒成立,所以原不等式⇔x2-2x-2<2x2+2x+2⇔x2+4x+4>0⇔(x+2)2>0,所以x≠-2。所以不等式的解集为{x|x≠-2}。 4.若不等式x2+mx+>0恒成立,则实数m的取值范围是 (D) A.{m|m>2} 　B.{m|m<2} C.{m|m<0,或m>2} 　D.{m|0<m<2} 解析　因为不等式x2+mx+>0,对x∈R恒成立,所以Δ<0,即m2-2m<0,所以0<m<2。 5.一个容积为1 000 mL的容器里盛满浓度为80%的酒精。第一次倒出若干毫升后,用水加满;第二次又倒出同样毫升数的溶液,再用水加满。要使这时容器内的酒精的浓度不大于20%。则每次至少倒出溶液 (B) A.200 mL 　B.500 mL C.1 000 mL 　D.1 500 mL 解析　设每次倒出溶液x mL。根据题意,得1 000×80%-1 000×20%≤80%x+x。整理,得x2-2 000x+750 000≤0。解得500≤x≤1 500。又因为x≤1 000,所以500≤x≤1 000。故每次至少倒出500 mL溶液。 二、多项选择题 6.下列不等式中,与不等式<2解集相同的是 (BD) A.(x+8)(x2+2x+3)<2 B.x+8<2(x2+2x+3) C.< D.2x2+3x-2>0 解析　依题意,注意到x2+2x+3=(x+1)2+2≥2>0,因此不等式<2等价于x+8<2(x2+2x+3),化简得2x2+3x-2>0。故选BD。 7.已知关于x的不等式x2-4x≥m,对任意0≤x≤1恒成立,则m可取 (AB) A.-3 B.-4 C.0 D.-2 解析　令y=x2-4x=(x-2)2-4,又0≤x≤1,所以当x=1时,y取最小值为-3,所以m≤-3。故选AB。 三、填空题 8.不等式>0的解集为 {x|x>-5,且x≠2} 。  解析　>0⇔⇔⇔x>-5且x≠2。 9.某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y=3 000+20x-0.1x2(0<x<240),若每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是 150 台。  解析　依题意得25x≥3 000+20x-0.1x2, 整理得x2+50x-30 000≥0, 解得x≥150或x≤-200(舍去)。 因为0<x<240,所以150≤x<240, 即最低产量是150台。 10.函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则不等式ax2+bx+c<0的解集是 {x|1<x<2} ,不等式<0的解集是 x-<x<3 。  解析　由题图易得ax2+bx+c<0的解集是{x|1<x<2};又由题图可知a>0,且1,2是方程ax2+bx+c=0的两根,故有1+2=-,1×2=⇒b=-3a,c=2a,所以<0⇒<0⇒<0⇒-<x<3,故<0的解集是x-<x<3。 四、解答题 11.解下列不等式: (1)<0;(2)>1。 解　(1)<0且x≠-4⇔(2x-5)(x+4)<0⇔-4<x<, 所以原不等式的解集为。 (2)原不等式可化为-1>0,即<0, 等价于(3x-2)(4x-3)<0,所以<x<。 所以原不等式的解集为。 12.关于x的不等式<2对任意实数x恒成立,求实数m的取值范围。 解　因为x2-2x+3=(x-1)2+2>0, 所以4x+m<2(x2-2x+3)恒成立, 所以m<2x2-8x+6恒成立, 设y=2x2-8x+6, 则当x=2时,y取最小值为-2。 所以m<-2。 所以实数m的取值范围为{m|m<-2}。 素养提升 13.关于x的不等式<0的解集为M,若0∈M,则实数m的取值范围是 (B) A.m<0 B.m>0 C.m≠0 D.不确定 解析　因为0∈M,所以代入不等式<0得-m<0,即m>0。故选B。 14.若对一切实数x,不等式x2-a|x|+2≥0恒成立,则实数a的取值范围为 {a|a≤2} 。  解析　当x=0时,不等式x2-a|x|+2≥0显然成立,a∈R; 当x≠0时,不等式x2-a|x|+2≥0恒成立等价于a≤恒成立, 由y==|x|+≥2