课时达标检测(13) 基本不等式的应用-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

课时达标检测(十三)　基本不等式的应用 基础达标 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、单项选择题 1.已知0<x<1,则x(3-3x)取得最大值时x的值为 (B) A. B. C. D. 解析　x(3-3x)=×3x(3-3x)≤×=,当且仅当3x=3-3x,即x=时取等号。 2.函数y=3x2+的最小值是 (D) A.3-3 B.3 C.6 D.6-3 解析　y=3(x2+1)+-3≥2-3=2-3=6-3,当且仅当x2=-1时等号成立。故选D。 3.不等式若xy是正数,则+的最小值是 (C) A.3 B. C.4 D. 解析　+=++≥1+1+2=4。当且仅当x=y=或x=y=-时取等号。 4.如图所示,矩形ABCD的边AB靠在墙PQ上,另外三边是由篱笆围成的。若该矩形的面积为4,则围成矩形ABCD所需要篱笆的(B) A.最小长度为8 B.最小长度为4 C.最大长度为8 D.最大长度为4 解析　设BC=a,CD=b, 因为矩形的面积为4,所以ab=4, 所以围成矩形ABCD所需要的篱笆长度为2a+b=2a+≥2=4, 当且仅当2a=,即a=时,等号成立。 5.气象学院用32万元买了一台天文观测仪,已知这台观测仪从启动的第一天连续使用,第n天的维修保养费为(4n+46)(n∈N*)元,使用它直至“报废最合算”(所谓“报废最合算”是指使用的这台仪器的平均每天耗资最少)为止,一共使用了 (B) A.300天 B.400天 C.600天 D.800天 解析　设一共使用了n天,则使用n天的平均耗资为=+2n+48,当且仅当=2n时,取得最小值,此时n=400。 二、多项选择题 6.若a>0,b>0,且a+b=4,则下列不等式恒成立的是 (AB) A.a2+b2≥8 B.≥ C.≥2 D.+≤1 解析　因为a>0,b>0,所以a2+b2≥=8,当且仅当a=b=2时取等号,所以A正确;因为a>0,b>0,所以a+b=4≥2,ab≤4,≥,当且仅当a=b=2时取等号,所以B正确,C错误;因为a>0,b>0,所以+==≥1,所以D错误。故选AB。 7.已知某出租车司机为升级服务水平,购入了一辆豪华轿车投入运营,据之前的市场分析得出每辆车的营运总利润y(万元)与运营年数x的关系为y=-x2+12x-25,则下列判断正确的是 (BC) A.车辆运营年数越多,收入越高 B.车辆在第6年时,总收入最高 C.车辆在前5年的平均收入最高 D.车辆每年都能盈利 解析　由题意,函数y=-x2+12x-25的图象是开口向下的抛物线,故A错误;其图象的对称轴为x=6,故B正确;=-x+12-=-x++12≤-2+12=2,当且仅当x=5时,等号成立,故C正确;当x=1时,y=-14,故D错误。 三、填空题 8.若x>0,y>0,且x+4y=1,则xy的最大值为  。  解析　1=x+4y≥2=4,所以xy≤,当且仅当x=4y=时等号成立。 9.如图,有一张单栏的竖向张贴的海报,它的印刷面积为72 dm2(图中阴影部分),上下空白各宽2 dm,左右空白各宽1 dm,则四周空白部分面积的最小值是 56 dm2。  解析　设阴影部分的高为x dm,则宽为 dm,四周空白部分的面积是y dm2。由题意,得y=(x+4)-72=8+2x+≥8+2×2=56。当且仅当x=即x=12时等号成立。 10.若a,b均为正实数,满足a+b+3=ab,则a+b的取值范围是 a+b≥6 。  解析　因为a+b+3=ab≤, 所以(a+b)2-4(a+b)-12≥0,解得a+b≥6,当且仅当a=b=3时取等号。 四、解答题 11.当x<时,求函数y=x+的最大值。 解　y=(2x-3)++=-++, 因为当x<时,3-2x>0, 所以+≥2=4, 当且仅当=,即x=-时取等号。于是y≤-4+=-,故函数有最大值-。 12.经观测,某公路段在某时段内的车流量y(千辆/时)与汽车的平均速度v(千米/时)之间有函数关系:y=(v>0)。在该时段内,当汽车的平均速度v为多少时车流量y最大? 解　y==, 因为v+≥2=20, 所以y=≤=, 当且仅当v=,即v=10时等号成立。 所以当汽车的平均速度v=10千米/时时车流量y最大。 素养提升 13.《几何原本》第二卷中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据,通过这一原理,很多代数的定理都能够通过图形实现证明,并称之为无字证明。现有如图所示的图形,点F在半圆O上,且OF⊥AB,点C在直径AB上运动。设AC=a,BC=b,则由FC≥OF可以直接证明的不等式为 (D) A.≥(a>0,b>0) B.a2+b2≥2ab(a>0,b>0) C.≤(a>0,b>0) D.≤(a>0,b>0) 解析　不妨设点C