课时达标检测(12) 基本不等式-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

课时达标检测(十二)　基本不等式 基础达标 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、单项选择题 1.下列不等式中正确的是 (D) A.a+≥4 B.a2+b2≥4ab C.≥ D.x2+≥2 解析　若a<0,则a+≥4不成立,故A错;若a=1,b=1,则a2+b2<4ab,故B错;若a=4,b=16,则<,故C错;由基本不等式可知D项正确。 2.下列各式中最小值为2的是 (B) A.y=t+(t>1) B.y=+ C.y=t+(t>1) D.y=t++1(t>0) 解析　A中,y=t+≥2,当且仅当t=1时等号成立;B中,y=+≥2,当且仅当t=1时等号成立;C中,y=t+=t-1++1≥3;D中,y=t++1≥3。 3.设x,y满足x+y=40,且x,y都是正数,则xy的最大值是 (A) A.400 B.100 C.40 D.20 解析　因为≤(x>0,y>0),所以xy≤2=2=400。当且仅当x=y=20时,等号成立。 4.设x>0,则3-3x-的最大值是 (D) A.3　　 B.3-2 C.-1　　 D.3-2 解析　因为x>0,所以3x+≥2=2,当且仅当x=时,等号成立,所以-3x+≤-2,则3-3x-≤3-2。 5.已知a>0,b>0,则下列不等式中错误的是 (D) A.ab≤ B.ab≤ C.≥ D.≤ 解析　由基本不等式知A,C正确,由重要不等式知B正确,由≥ab,得ab≤,所以≥。故选D。 6.已知x<0,则x+-2有 (C) A.最大值为0 B.最小值为0 C.最大值为-4 D.最小值为-4 解析　因为x<0,所以-x>0,所以x+-2=--2≤-2-2=-4。当且仅当-x=-,即x=-1时“=”成立。故选C。 二、多项选择题 7.下列条件可使+≥2成立的有 (ACD) A.ab>0 B.ab<0 C.a>0,b>0 D.a<0,b<0 解析　根据基本不等式的条件,a,b同号,则>0,>0。 8.一个矩形的周长为l,面积为S,则下列四组数对中,可作为数对(S,l)的有 (AC) A.(1,4) B.(6,8) C.(7,12) D.3, 解析　设矩形的长和宽分别为x,y,则x+y=l,S=xy。由xy≤2知,S≤,故AC成立。 三、填空题 9.已知a,b是不相等的正数,x=,y=,则x,y的大小关系是 x<y 。  解析　x2=,y2=a+b=。 因为a+b>2(a≠b),所以x2<y2, 因为x>0,y>0,所以x<y。 10.已知0<x<1,则x(1-x)的最大值为  ,此时x=  。  解析　因为0<x<1,所以1-x>0,所以x(1-x)≤2=2=,当且仅当x=1-x,即x=时“=”成立,即当x=时,x(1-x)取得最大值。 11.已知x>0,y>0,且满足+=1,则xy的最大值为 3 ,取得最大值时y的值为 2 。  解析　因为x>0,y>0,所以1=+≥2=2,当且仅当=时取等号。由2≤1,得xy≤3。由得故xy的最大值为3,此时y=2。 四、解答题 12.已知a,b,c为正数,求证:++≥3。 证明　左边=+-1++-1++-1 =+++-3。 因为a,b,c为正数, 所以+≥2(当且仅当a=b时取“=”); +≥2(当且仅当a=c时取“=”); +≥2(当且仅当b=c时取“=”)。 从而+++≥6(当且仅当a=b=c时取等号)。 所以+++-3≥3, 即++≥3。 素养提升 13.已知x>0,y>0,且x+2y=4,则(1+x)(1+2y)的最大值为 (B) A.16 B.9 C.4 D.36 解析　(1+x)(1+2y)≤2=2=9,当且仅当1+x=1+2y,即x=2,y=1时,等号成立。 14.已知x,y为正实数,3x+2y=10,求W=+的最大值。 解　因为x,y为正实数,3x+2y=10, 所以W2=3x+2y+2≤10+(3x+2y)=20, 当且仅当3x=2y,3x+2y=10, 即x=,y=时,等号成立。 所以W≤2,即W的最大值为2。 学科网（北京）股份有限公司 $