课时达标检测(8) 全称量词与存在量词-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

课时达标检测(八)　全称量词与存在量词 基础达标 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、单项选择题 1.下列命题中的假命题是 (C) A.∃x∈R,|x|=0 B.∃x∈R,2x-10=1 C.∀x∈R,x3>0 D.∀x∈R,x2+1>0 解析　当x=0时,x3=0,故选项C为假命题。 2.将“x2+y2≥2xy”改写成全称量词命题,下列说法正确的是 (A) A.对任意x,y∈R,都有x2+y2≥2xy B.存在x,y∈R,使x2+y2≥2xy C.对任意x>0,y>0,都有x2+y2≥2xy D.存在x<0,y<0,使x2+y2≥2xy 解析　“对任意x,y∈R,都有x2+y2≥2xy”为对应的全称量词命题,选项A正确。 3.以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是(B) A.锐角三角形的内角是锐角或钝角 B.至少有一个实数x,使x2≤0 C.两个无理数的和必是无理数 D.存在一个负数x,使>2 解析　A项,锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称量词命题;B项,x=0时,x2=0,所以B项既是存在量词命题又是真命题;C项,因为+(-)=0,所以C项是假命题;D项,对于任意一个负数x,都有<0,所以D项是假命题。 4.下列命题中既是全称量词命题又是真命题的是 (C) A.∀x∈R,2x+1>0 B.若2x为偶数,则x∈N C.菱形的四条边都相等 D.π是无理数 解析　对A,是全称量词命题,但不是真命题,故A不正确;对B,是全称量词命题,但不是真命题,故B不正确;对C,是全称量词命题,也是真命题,故C正确;对D,是真命题,但不是全称量词命题,故D不正确。 5.已知命题p:∃x∈R,x2+4x+a=0,若命题p是假命题,则实数a的取值范围是 (B) A.0<a<4 B.a>4 C.a<0 D.a≥4 解析　因为p是假命题,所以方程x2+4x+a=0没有实数根,即Δ=16-4a<0,即a>4。 6.已知A={x|1≤x≤2},命题“∀x∈A,x2-a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是 (C) A.a≥4 B.a≤4 C.a≥5 D.a≤5 解析　当该命题是真命题时,只需a≥(x2)max,x∈A={x|1≤x≤2}。又y=x2在1≤x≤2上的最大值是4,所以a≥4。因为a≥4a≥5,a≥5⇒a≥4,故选C。 二、多项选择题 7.下列全称量词命题中为真命题的是 (ABC) A.对于任意实数x,都有x+2>x B.对任意的实数a,b,都有若|a|>|b|,则a2>b2成立 C.二次函数y=x2-ax-1与x轴恒有交点 D.∀x∈R,y∈R,都有x2+|y|>0 8.下列命题是“∃x∈R,x2>3”的表述方法的有 (ABD) A.有一个x∈R,使得x2>3成立 B.对有些x∈R,使得x2>3成立 C.任选一个x∈R,都有x2>3成立 D.至少有一个x∈R,使得x2>3成立 解析　C选项是全称量词命题,A,B,D选项符合题意,故选ABD。 三、填空题 9.命题“存在实数x,y,使得x+y>1”是 存在量词命题   (填“全称量词命题”或“存在量词命题”),用符号表示为 ∃x,y∈R,x+y>1 。  解析　命题“存在实数x,y,使得x+y>1”是存在量词命题,用符号表示为“∃x,y∈R,x+y>1”。 10.试判断下列全称量词命题的真假: ①∀x∈R,x2+2>0;②∀x∈N,x4≥1;③对任意x,y,都有x2+y2≠0。 其中真命题的个数为 1 。  解析　①由于∀x∈R,都有x2≥0,因而有x2+2≥2>0,即x2+2>0,所以命题“∀x∈R,x2+2>0”是真命题。②由于0∈N,当x=0时,x4≥1不成立,所以命题“∀x∈N,x4≥1”是假命题。③当x=y=0时,x2+y2=0,所以是假命题。 11.若“∀x∈R,x2+4x≥m”是真命题,则实数m的取值范围为 {m|m≤-4} 。  解析　由题意,y=x2+4x=(x+2)2-4的最小值为-4,所以m≤-4。 四、解答题 12.判断下列命题哪些是全称量词命题,哪些是存在量词命题,并判断其真假性。 (1)对所有的正实数t,为正且<t; (2)存在实数x,使得x2-3x-4=0; (3)存在实数对(x,y),使得3x-4y-5>0; (4)角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 解　(1)为全称量词命题,且为假命题,如取t=1,则<t不成立。 (2)为存在量词命题,且为真命题, 因为判别式Δ=b2-4ac=25>0, 所以存在实数x,使得x2-3x-4=0。 (3)为存在量词命题,且为真命题,如取实数对(2,0),则3x-4y-5>0成立。 (4)为全称量词命题,且为真命题。 13.已知命题“∃x∈{x|-3≤x≤2},3a+x-2=0”为真命题,求实数a的取值范围。 解