课时达标检测(7) 充要条件-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

课时达标检测(七)　充要条件 基础达标 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、单项选择题 1.“1<x<2”是“x≤2”的 (A) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　设A={x|1<x<2},B={x|x≤2},A⫋B。故“1<x<2”是“x≤2”的充分不必要条件。 2.使“x∈”成立的一个充分不必要条件是 (C) A.x≥0 B.x<0或x>2 C.x∈{-1,3,5} D.x≤-或x≥3 解析　选项中只有x∈{-1,3,5}是使“x∈”成立的一个充分不必要条件。 3.“x=1”是“x∈{x|x≤a}”的充分条件,则实数a的取值范围为 (D) A.a= B.a< C.a<1 D.a≥1 解析　由题意,{1}是{x|x≤a}的子集,所以a≥1。故选D。 4.“x2+(y-2)2=0”是“x(y-2)=0”的 (B) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　由x2+(y-2)2=0,得x=0且y=2,x(y-2)=0。反之,x(y-2)=0,即x=0或y=2,x2+(y-2)2=0不一定成立。故选B。 5.已知a,b是实数,则“a>0且b>0”是“a+b>0且ab>0”的 (C) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　“a>0且b>0”可以推出“a+b>0且ab>0”,反之也是成立的。故选C。 二、多项选择题 6.下列说法中正确的是 (ABC) A.“A∩B=B”是“B=⌀”的必要不充分条件 B.“x=3”的必要不充分条件是“x2-2x-3=0” C.“m是实数”的充分不必要条件是“m是有理数” D.“|x|=1”是“x=1”的充分条件 解析　由A∩B=B得B⊆A,所以“B=⌀”可推出“A∩B=B”,反之不成立,A正确;解方程x2-2x-3=0,得x=-1或x=3,所以“x=3”的必要不充分条件是“x2-2x-3=0”,B正确;“m是有理数”可以推出“m是实数”,反之不一定成立,C正确;解方程|x|=1,得x=±1,则“|x|=1”是“x=1”的必要条件,D错误。 7.“不等式x2-2x+m≥0在R上恒成立”的充分不必要条件是 (CD) A.m≥1 B.m≤1 C.m≥2 D.m≥3 解析　“不等式x2-2x+m≥0在R上恒成立”的充要条件为“(-2)2-4m≤0”,即“m≥1”,又C、D选项中m的取值集合是{m|m≥1}的真子集。故不等式恒成立的充分不必要条件是C、D选项。 三、填空题 8.“方程x2-2x-a=0没有实数根”的充要条件是 a<-1 。  解析　因为方程x2-2x-a=0没有实数根,所以有Δ=4+4a<0,解得a<-1,因此“方程x2-2x-a=0没有实数根”的必要条件是a<-1。反之,若a<-1,则Δ<0,方程x2-2x-a=0无实根,从而充分性成立。故“方程x2-2x-a=0没有实数根”的充要条件是“a<-1”。 9.对于集合A,B及元素x,若A⊆B,则x∈B是x∈A∪B的 充要 条件。  解析　由x∈B,显然可得x∈A∪B;反之,由A⊆B,则A∪B=B,所以由x∈A∪B可得x∈B,故x∈B是x∈A∪B的充要条件。 10.写出平面内的一个四边形为平行四边形的两个充要条件: 充要条件① 两组对边分别平行 ;  充要条件② 一组对边平行且相等 。  (写出你认为正确的两个充要条件) 四、解答题 11.不等式3x+a≥0成立的充要条件为x≥2,求a的值。 解　3x+a≥0化为x≥-。 由题意={x|x≥2}, 所以-=2,a=-6。 12.设x,y∈R,求证|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0。 证明　①充分性:如果xy≥0,则有xy=0和xy>0两种情况,当xy=0时,不妨设x=0,得|x+y|=|y|, |x|+|y|=|y|,所以等式成立。 当xy>0时,x>0,y>0或x<0,y<0。 当x>0,y>0时,|x+y|=x+y,|x|+|y|=x+y, 所以等式成立。 当x<0,y<0时,|x+y|=-(x+y), |x|+|y|=-x-y=-(x+y), 所以等式成立。 总之,当xy≥0时,|x+y|=|x|+|y|成立。 ②必要性:若|x+y|=|x|+|y|且x,y∈R, 得|x+y|2=(|x|+|y|)2, 即x2+2xy+y2=x2+y2+2|x||y|, 所以|xy|=xy,所以xy≥0。 综上可知,xy≥0是等式|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件。 素养提升 13.一次函数y=-x+的图象同时经过第一、二、四象限的必要不充分条件是 (D) A.m>0,n>0 B.mn<0 C.m<0,n<0 D.mn>0 解析　一次函