5.3 诱导公式2课时 微讲小本-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

第2课时　诱导公式五、六 情境导入 课程标准 　　同学们听了老师的记忆口诀后,更是摸不着头脑, 老师随后做了解释,同学们脑洞大开,都拍手叫绝。 借助单位圆的对称性,利用定义推导诱导公式±α的正弦、余弦、正切。 1.诱导公式五、六 2.公式五和公式六的语言概括 (1)函数名称:±α的正弦(余弦)函数值,分别等于α的余弦(正弦)函数值。 (2)符号:函数值前面加上一个把α看成锐角时原角所在象限的角的三角函数值的符号。 (3)作用:利用诱导公式五或六,可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化。 微提醒 1.公式五的记忆规律:把α看作锐角,则-α是第一象限角,-α的正弦函数值等于α的余弦函数值;-α的余弦函数值等于α的正弦函数值。 2.公式六的记忆规律:把α看作锐角,则+α是第二象限角,因此+α的正弦函数值等于α的余弦函数值;+α的余弦函数值等于α的正弦函数值前面加上一个把α看作锐角时原函数值的符号。 微思考 1.如何由公式四及公式五推导公式六? 提示:sin+α=sinπ--α=sin-α=cos α。cos+α=cosπ--α=-cos-α=-sin α。 2.如何证明下列式子: (1)cos-α=-sin α; (2)sin+α=-cos α。 提示:(1)cos-α=cosπ+-α=-cos-α=-sin α。 (2)sin+α=sinπ++α=-sin+α=-cos α。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 类型一 利用诱导公式化简求值 　　【例1】　(1)已知sin α=,则cos+α等于 (C) A. B. C.- D.- 解析　cos+α=-sin α=-。 (2)已知sin+α=,则cosα-等于 (D) A.- B.- C. D.± 解析　sin+α=cos α=,而cosα-=sin α=±。 (3)已知sinα-=,则cos-α的值等于 (D) A. B.- C. D.- 解析　因为sinα-=-sin-α=-sin+-α=-cos-α=,所以cos-α=-。 　　解决化简求值问题的策略 (1)首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系。(2)可以将已知式进行变形,向所求式转化,或将所求式进行变形,向已知式转化。 提醒:常见的互余关系有-α与+α,+α与-α等;常见的互补关系有+θ与-θ,+θ与-θ等。 　　【变式训练】　已知sin 40°=a,则cos 130°= (B) A.a B.-a C. D.- 解析　cos 130°=-cos 50°=-sin 40°=-a。 类型二 利用诱导公式证明恒等式 　　【例2】　求证: (1)=。 (2)=-tan θ。 证明　(1)右边= = = == ==左边, 所以原等式成立。 (2)左边= ==-tan θ=右边, 所以原等式成立。 　　三角恒等式的证明的策略 (1)遵循的原则:在证明时一般从左边到右边,或从右边到左边,或左右归一。(2)常用的方法:定义法,化弦法,拆项拆角法,公式变形法,“1”的代换法。 　　【变式训练】　求证:=-1。 证明　因为左边= ===-1=右边,所以原等式成立。 类型三 诱导公式的综合应用 　　【例3】　在△ABC中,sin=sin,试判断△ABC的形状。 解　因为A+B+C=π, 所以A+B-C=π-2C,A-B+C=π-2B。 又因为sin=sin, 所以sin=sin, 所以sin-C=sin-B, 所以cos C=cos B。 又B,C为△ABC的内角,所以C=B, 所以△ABC为等腰三角形。 　　若A,B,C为△ABC的三个内角,则A+B+C=π⇒C=π-(A+B),=⇒=-,因此诱导公式在△ABC中,有以下等式成立:(1)sin(A+B)=sin C,cos(A+B)=-cos C;(2)sin=cos,cos=sin。 提醒:三角形三内角中至多有一个钝角,大边对大角等知识点在解题中也常常用到 　　【变式训练】　已知A,B,C为△ABC的三个内角,求证: (1)cos(2A+B+C)=-cos A; (2)tan=-tan。 证明　因为A,B,C是△ABC的三个内角,所以A+B+C=π。 (1)cos(2A+B+C)=cos(π+A)=-cos A。 (2)tan=tan=-tanπ-=-tan。 与三角函数结合的开放型问题 　　【典例】　(1)设f(cos x)=cos kx(k∈Z),求使f(sin x)=sin kx成立的整数k应满足的条件; (2)对于怎样的整数n,能由f(sin x)=sin nx推出f(cos x)=cos nx? 【解】　(1)要使f(sin x)=fcos-x=cosk-x=cos+-kx=sin kx成立,必须且只需使=2nπ,n∈Z,即