3.2.2 奇偶性 微讲小本-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

3.2.2　奇偶性 情境导入 课程标准 　　我国的建筑,无论宫殿、庙宇、亭台、园林,无不有着对称之美,还能给人以稳重、博大、端庄的感觉。而对称美在数学中更是体现得淋漓尽致,今天我们来探究数学中的对称美。 　结合具体函数,了解奇偶性的概念和几何意义。 1.函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 设函数f(x)的定义域为I,如果∀x∈I,都有-x∈I,且f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称 奇函数 设函数f(x)的定义域为I,如果∀x∈I,都有-x∈I,且f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称 2.函数的奇偶性与单调性 (1)若f(x)为奇函数且在区间[a,b](a<b)上为增函数,则f(x)在[-b,-a]上为增函数,即在对称区间上单调性相同。 (2)若f(x)为偶函数且在区间[a,b](a<b)上为增函数,则f(x)在[-b,-a]上为减函数,即在对称区间上单调性相反。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 微思考 1.为什么奇、偶函数的定义域一定关于原点对称? 提示:由函数奇偶性的定义知,若x在定义域内, 则-x一定也在定义域内(若-x不在定义域内,则f(-x)无意义),因此,具有奇偶性的函数的定义域必关于原点对称。 2.如果奇函数在x=0处有定义,则其图象有什么特征? 提示:图象过原点,即f(0)=0。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 类型一 函数奇偶性的判断 　　【例1】　判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=;(2)f(x)=2-|x|; (3)f(x)=。 解　(1)因为函数f(x)的定义域是{x|x≠1},关于原点不对称, 所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数。 (2)因为函数f(x)的定义域为R,关于坐标原点对称, 又f(-x)=2-|-x|=2-|x|=f(x), 所以f(x)为偶函数。 (3)因为函数f(x)的定义域为[-1,0)∪(0,1], 所以f(x)==, 因为f(-x)==-=-f(x), 所以f(x)是奇函数。 　　判断函数奇偶性的过程中,如果需要化简函数解析式,一定要注意函数的定义域是否发生改变。奇偶性是函数在它的定义域上的整体性质,所以判断函数的奇偶性应先明确它的定义域。 　　【变式训练】　判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=x3+x; (2)f(x)=+; (3)f(x)=。 　　解　(1)函数f(x)的定义域为R,关于原点对称。 又f(-x)=(-x)3+(-x)=-(x3+x)=-f(x), 所以函数f(x)是奇函数。 (2)由得x2=1,即x=±1。 所以函数的定义域为{-1,1},关于原点对称。 又f(1)=f(-1)=0,所以f(x)既是奇函数又是偶函数。 (3)函数f(x)的定义域是(-∞,-1)∪(-1,+∞), 不关于原点对称,所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数。 类型二 函数奇偶性的图象特征 　　【例2】　(1)函数f(x)=2x-的图象关于 (D) A.y轴对称 B.直线y=-x对称 C.直线y=x对称 D.坐标原点对称 解析　函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),则f(-x)=-2x+=-2x-=-f(x),则函数f(x)是奇函数,则函数f(x)=2x-的图象关于坐标原点对称。 (2)如图是偶函数y=f(x)的局部图象,根据图象所给信息,下列结论正确的是 (B) A.f(-2)-f(6)=0 B.f(-2)-f(6)<0 C.f(-2)+f(6)<0 D.f(-2)-f(6)>0 解析　由题目可知,f(2)<f(6),又因为f(x)为偶函数,所以f(-2)=f(2),所以f(-2)-f(6)<0。 (3)设奇函数f(x)的定义域为[-6,6],当x∈[0,6]时,f(x)的图象如图所示,则不等式f(x)<0的解集用区间表示为 [-6,-3)∪(0,3) 。  解析　由题干中f(x)在[0,6]上的图象知,满足f(x)<0的不等式的解集为(0,3)。又f(x)为奇函数,图象关于原点对称,所以在[-6,0)上,不等式f(x)<0的解集为[-6,-3)。综上可知不等式f(x)<0的解集为[-6,-3)∪(0,3)。 　　(1)巧用奇偶性作函数图象的步骤:①确定函数的奇偶性;②作出函数在[0,+∞)(或(-∞,0])上对应的图象;③根据奇(偶)函数的图象关于原点(y轴)对称得出在(-∞,0](或[0,+∞))上对应的函数图象。(2)奇、偶函数图象的应用类型及处理策略:①类型:利用奇、偶函数的图象可以解决求值、比较大小及解不等式问题;②策略:利用函数的奇偶性作出相应函数的图象,根据图象直接观察。 　　【变式训练】　(1)奇函数y=f(x)的局部图象如图①所示,