3.2.1 单调性与最大(小)值2课时 微讲小本-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

第2课时　函数的最大(小)值 情境导入 课程标准 　　科考队对“早穿棉袄午穿纱,围着火炉吃西瓜”这一独特的沙漠气候进行科学考察,如图是某天气温随时间的变化曲线。这就是我们本节要学习的知识。 　借助函数图象,会用符号语言表达函数的最大值、最小值,理解它们的作用和意义。 最大值 最小值 条件 一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:∀x∈I,都有 f(x)≤M f(x)≥M ∃x0∈I,使得f(x0)=M 结论 称M是函数y=f(x)的最大值 称M是函数y=f(x)的最小值 几何 意义 f(x)图象上最高点的纵坐标 f(x)图象上最低点的纵坐标 微提醒 　函数的最值和值域的联系与区别。 (1)联系:函数的最值和值域反映的都是函数的整体性质,针对的是整个定义域。 (2)区别:①函数的值域一定存在,而函数的最大(小)值不一定存在;②若函数的最值存在,则最值一定是值域中的元素。 微思考 不等式x2>-1一定成立吗?-1是不是函数f(x)=x2的最小值? 提示:x2>-1一定成立。但-1不是f(x)=x2的最小值,这是因为不存在x0∈R,使得=-1成立。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 类型一 利用图象法求函数最值 　　【例1】　已知函数f(x)=求函数f(x)的最大值、最小值。 解　作出f(x)的图象如图。 由图象可知,当x=2时, f(x)取最大值为2;当x=时, f(x)取最小值为-。 所以f(x)的最大值为2,最小值为-。 　　图象法求最值的步骤 　　【变式训练】　(1)函数f(x)在区间[-2,5]上的图象如图所示,则此函数的最小值、最大值分别是 (C) A.-2,f(2) B.2,f(2) C.-2,f(5) D.2,f(5) 解析　由题图知,当x=-2时,有最小值-2;当x=5时,有最大值f(5)。 (2)已知函数f(x)=求f(x)的最大值和最小值。 解　 作出函数f(x)的图象如图所示。 由图象可知,当x=±1时,f(x)取最大值为f(±1)=1。 当x=0时,f(x)取最小值f(0)=0,故f(x)的最大值为1,最小值为0。 类型二 利用单调性求函数最值 　　【例2】　已知函数f(x)=。 (1)判断函数在区间(-1,+∞)上的单调性,并用定义证明你的结论; (2)求该函数在区间[2,4]上的最大值和最小值。 解　(1)f(x)在(-1,+∞)上单调递增,证明如下: 取∀x1,x2∈(-1,+∞),且x1<x2, 则f(x1)-f(x2)=-=。 因为-1<x1<x2, 所以x1+1>0,x2+1>0,x1-x2<0, 所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2), 所以f(x)在(-1,+∞)上单调递增。 (2)由(1)知f(x)在[2,4]上单调递增, 所以f(x)的最小值为f(2)==, 最大值为f(4)==。 　　利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤 (1)判断函数的单调性;(2)利用单调性求出最大(小)值。 提醒:(1)求最值勿忘求定义域。(2)闭区间上的最值,不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易出现的错误,求解时一定注意。 　　【变式训练】　(1)下列函数在[1,4]上最大值为3的是 (A) A.y=+2 B.y=3x-2 C.y=x2 D.y=1-x 解析　选项B,C在[1,4]上均为增函数,选项A,D在[1,4]上均为减函数,代入端点值,即可求得最大值为3的是y=+2。 (2)求函数f(x)=x+在[1,4]上的最值。 解　设1≤x1<x2≤4,则f(x1)-f(x2)=x1+-x2-=x1-x2+=(x1-x2)·=(x1-x2)·=。 当1≤x1<x2<2时,x1-x2<0,x1x2-4<0,x1x2>0, 所以f(x1)>f(x2),所以f(x)在[1,2)上是减函数。 同理:f(x)在[2,4]上是增函数。 所以当x=2时,f(x)取得最小值4; 当x=1或x=4时,f(x)取得最大值5。 类型三 函数最值的实际应用 　　【例3】　某家庭进行理财投资,根据长期收益率市场预测,投资债券等稳健型产品的年收益f(x)(单位:万元)与投资额x(单位:万元)成正比,且投资1万元时的年收益为万元,投资股票等风险型产品的年收益g(x)(单位:万元)与投资额x的算术平方根成正比,且投资1万元时的年收益为万元。 (1)分别写出投资两种产品的年收益与投资额的函数关系; (2)该家庭现有20万元资金,全部用于理财投资,怎样分配资金能使投资获得最大年收益,其最大年收益为多少万元? 解　(1)由题意,设f(x)=k1x,g(x)=k2, 则f(1)=k1=,g(1)=k2=, 所以f(x)=x(x≥0),g(x