3.2.1 单调性与最大(小)值1课时 微讲小本-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

3.2　函数的基本性质 3.2.1　单调性与最大(小)值 第1课时　函数的单调性 情境导入 课程标准 　　我们知道,“记忆”在我们的学习过程中扮演着非常重要的角色,因此有关记忆的规律一直都是人们研究的课题。德国著名的心理学家艾宾浩斯对记忆保持量进行了系统的实验研究,并给出了类似如图所示的记忆规律。此曲线从左至右是逐渐下降的,我们如何用数学观点进行解释? 　借助函数图象,会用符号语言表达函数的单调性,理解它们的作用和实际意义。 1.增函数与减函数 2.函数的单调区间 如果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递减,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间。 3.有关单调性的常用结论 在公共定义域内,增函数+增函数=增函数;减函数+减函数=减函数;增函数-减函数=增函数;减函数-增函数=减函数。 微思考 画出函数y=的图象,结合图象探讨下列说法是否正确? (1)函数y=是减函数; (2)函数y=的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞)。 提示:y=的图象如图所示。 (1)是错误的,从左向右看,函数y=的图象在x=0处中断,图象不是连续下降的。 (2)是错误的,函数y=的单调递减区间应是(-∞,0),(0,+∞),不能写成(-∞,0)∪(0,+∞)。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 类型一 利用单调性定义判断函数的单调性 　　【例1】　利用单调性定义证明:函数f(x)=在其定义域内是增函数。 证明　函数f(x)=的定义域是[1,+∞), 设∀x1,x2∈[1,+∞),且x1<x2, 则f(x2)-f(x1)=- = =。 因为x1,x2∈[1,+∞),且x1<x2, 所以+>0,x2-x1>0。 所以f(x1)<f(x2), 即函数f(x)=在定义域上是增函数。 　　函数的单调性是在某指定区间上而言的,自变量x的取值必须是连续的。用定义证明函数的单调性的基本步骤是“取值—作差(或作商)—变形—定号—判断”。当函数在给定区间上恒正或恒负时,也常用“作商判1”的方法来解决,特别是函数中含有指数式时常用此法。解决带根号的问题,常用的方法就是分子、分母有理化。从形式上看是由“-”变成“+”。 　　【变式训练】　判断函数f(x)=在区间(1,+∞)上的单调性,并用单调性定义证明。 解　函数f(x)=在区间(1,+∞)上单调递减。 证明如下: 任取x1,x2∈(1,+∞),且x1<x2, 则f(x1)-f(x2)=-==。 因为x1<x2,所以x2-x1>0,又x1,x2∈(1,+∞), 所以x2+x1>0,-1>0,-1>0。 所以>0,即f(x1)>f(x2)。 所以f(x)在区间(1,+∞)上单调递减。 类型二 函数单调性的判断 　　【例2】　(1)若定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a,b,总有>0成立,则必有(A) A.f(x)在R上是增函数 B.f(x)在R上是减函数 C.函数f(x)先增后减 D.函数f(x)先减后增 解析　>0⇔或⇔或所以f(x)在R上是增函数。故选A。 (2)(多选)设f(x),g(x)都是单调函数,则下列命题中正确的是 (BC) A.若f(x)单调递增,g(x)单调递增,则f(x)-g(x)单调递增 B.若f(x)单调递增,g(x)单调递减,则f(x)-g(x)单调递增 C.若f(x)单调递减,g(x)单调递增,则f(x)-g(x)单调递减 D.若f(x)单调递减,g(x)单调递减,则f(x)-g(x)单调递减 　　判断单调性的常见方法 (1)定义法。(2)定义的等价形式(对于任意的x1,x2∈D,且x1≠x2):①>0⇔f(x)在D上为增函数;②(x1-x2)(f(x1)-f(x2))>0⇔f(x)在D上为增函数;③<0⇔f(x)在D上为减函数;④(x1-x2)(f(x1)-f(x2))<0⇔f(x)在D上为减函数。(3)利用已知函数的单调性。 　　【变式训练】　(1)已知f(x)对任意的x1,x2>1(x1≠x2)都有>0,则f(x)在(1,+∞)上是 减 (“增”或“减”)函数。  解析　>0⇔<0。故f(x)在(1,+∞)上为减函数。 (2)下列函数中,在(0,+∞)上单调递增的是 (C) A.f(x)=3-x B.f(x)=x2-3x C.f(x)=- D.f(x)=-|x| 解析　对于A,f(x)=3-x为一次函数,在(0,+∞)上单调递减,不符合题意;对于B,f(x)=x2-3x为二次函数,在0,上单调递减,不符合题意;对于C,f(x)=-为反比例型函数,在(0,+∞)上单调递增,符合题意;对于D,f(x)=-|x|,当x>0时,f(x)=-x,则函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,不符合题意。 类