3.1.2 函数的表示法2课时 微讲小本-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

第2课时　分段函数 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 类型一 分段函数求值 　　【例1】　已知函数f(x)= (1)求f(-3),f的值; (2)若f(a)=2,求a的值; (3)f(a)<2,求a的取值范围。 解　(1)因为-3<-1,所以f(-3)=-3+2=-1。 因为-1<<2,所以f=2×=3。 又3>2,所以f=f(3)=。 (2)当a≤-1时,由f(a)=2,得a+2=2,a=0,舍去; 当-1<a<2时,由f(a)=2,得2a=2,a=1; 当a≥2时,由f(a)=2,得=2,a=2或a=-2(舍去)。 综上所述,a的值为1或2。 (3)当a≤-1时,由f(a)=a+2<2,得a<0,所以a≤-1。 当-1<a<2时,由f(a)=2a<2,得a<1,所以-1<a<1。 当a≥2时,由f(a)=<2,得a2<4,所以a不存在。 综上,a的取值范围为a<1。 　　分段函数求函数值的方法 (1)确定要求值的自变量属于哪一区间。(2)代入该段的解析式求值。当出现f(f(x0))的形式时,应从内到外依次求值。 　　【变式训练】　已知函数f(x)=若f(f(0))=4a,则实数a= 2 。  解析　由题意知f(0)=2。又f(2)=22+2a,所以22+2a=4a,即a=2。 类型二 分段函数的图象及应用 　　命题方向1:分段函数图象的画法 　　【例2】　画出下列函数的图象,并写出它们的值域。 (1)y= (2)y=|x+1|+|x-3|。 解　(1)函数y=的图象如图所示,观察图象,得函数的值域为(1,+∞)。 (2)用零点分段法将原函数式中的绝对值符号去掉,化为分段函数y=它的图象如图所示。观察图象,得函数的值域为[4,+∞)。 　　分段函数的图象 (1)由于分段函数在定义域的不同区间内解析式不一样,所以它的图象也由几部分构成,有的可以是光滑的曲线段,有的也可以是一些孤立的点或几段线段,画图时要特别注意区间端点处对应点的实虚。分段函数的定义域与值域的最好求法是“图象法”。(2)对含有绝对值的函数,要作出其图象,首先根据绝对值的意义去掉绝对值符号,将函数转化为分段函数来画图象。 　　【变式训练】　已知f(x)= (1)作出f(x)的图象; (2)求f(x)的定义域和值域。 解　(1)利用描点法,作出f(x)的图象,如图所示。 (2)由条件知,函数f(x)的定义域为R。 由图象知,当-1≤x≤1时,f(x)=x2的值域为[0,1]; 当x>1,或x<-1时,f(x)=1, 所以f(x)的值域为[0,1]。 　　命题方向2:分段函数图象的应用 　　【例3】　讨论方程x2-4|x|+5=m的实根的个数。 解　将方程x2-4|x|+5=m的实根个数问题转化为函数y=x2-4|x|+5的图象与直线y=m的交点个数问题。 作出函数y=x2-4|x|+5=的图象,如图所示。 由图象可以看出: ①当m<1时,直线y=m与该图象无交点,此时方程无解; ②当m=1时,直线y=m与该图象有2个交点,此时方程有2个实根; ③当1<m<5时,直线y=m与该图象有4个交点,此时方程有4个实根; ④当m=5时,直线y=m与该图象有3个交点,此时方程有3个实根; ⑤当m>5时,直线y=m与该图象有2个交点,此时方程有2个实根。 函数图象直观、清晰,能够帮助我们理解函数的概念和有关性质,数形结合是一种重要方法,画函数的图象是必须掌握的一个重要技能,因此,我们在学习时要养成画图的习惯。 　　【变式训练】　设x∈R,求函数y=2|x-1|-3|x|的最大值。 解　当x≥1时,y=2(x-1)-3x=-x-2; 当0≤x<1时,y=-2(x-1)-3x=-5x+2; 当x<0时,y=-2(x-1)+3x=x+2。 所以y= 根据函数的解析式作出图象,如图所示。 由图象可以看出,当x=0时,y取得最大值,且ymax=2。 类型三 分段函数的实际应用 　　【例4】　某自行车厂为共享单车公司生产新样式的单车,已知生产新样式单车的固定成本为20 000元,每生产一件新样式单车需要增加投入100元。根据初步测算,自行车厂的总收益(单位:元)满足分段函数h(x),其中h(x)=x是新样式单车的月产量(单位:件),利润=总收益-总成本。 (1)试将自行车厂的利润y表示为月产量x的函数; (2)当月产量为多少件时自行车厂的利润最大?最大利润是多少? 解　(1)依题设,总成本为20 000+100x, 则y= (2)当0<x≤400时,y=-(x-300)2+25 000, 则x=300时,ymax=25 000。 当x>400时,y=60 000-100x是减函数, 则y<60 000-100×400=20 000。 综上可知,当月产量x=300件时,自