3.1.1 函数的概念2课时 微讲小本-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

第2课时　函数概念的应用 情境导入 课程标准 　　设计运行时速达350千米的京津城际列车呈现出超越世界的“中国速度”, 使得新时速旅客列车的运行速度值界定在200千米/时与350千米/时之间。用(200,350)表示列车的运行速度,这就是我们本节要学习的知识。 1.会判断两个函数是否为同一个函数。 2.能正确使用区间表示数集。 3.会求一些简单函数的值域。 1.区间 设a,b∈R,且a<b,规定如下: 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a,b] {x|a<x<b} 开区间 (a,b) {x|a≤x<b} 半开半 闭区间 [a,b) {x|a<x≤b} 半开半 闭区间 (a,b] {x|x≥a} — [a,+∞) {x|x>a} — (a,+∞) {x|x≤a} — (-∞,a] {x|x<a} — (-∞,a) R — (-∞,+∞) — 2.同一个函数 (1)前提条件:①定义域相同;②对应关系相同。 (2)结论:这两个函数为同一个函数。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 微思考 1.函数有定义域、对应关系和值域三要素,为什么判断两个函数是否是同一个函数,只看定义域和对应关系? 提示:由函数的定义域和对应关系可以求出函数的值域,所以判断两个函数是否是同一个函数,只看定义域和对应关系即可。 2.区间可以表示一切数集吗? 提示:不可以,如数集{1}不能用区间表示。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 类型一 区间的应用 　　【例1】　用区间表示下列数集: (1){x|x≥-1};(2){x|x<0};(3){x|-1<x<1};(4)R;(5){x|0<x<1,或2≤x≤4}。 解　(1){x|x≥-1}=[-1,+∞)。 (2){x|x<0}=(-∞,0)。 (3){x|-1<x<1}=(-1,1)。 (4)R=(-∞,+∞)。 (5){x|0<x<1,或2≤x≤4}=(0,1)∪[2,4]。 　　用区间表示数集的原则:①数集是连续的;②左小右大;③区间的一端是开或闭不能弄错。 　　【变式训练】　用区间表示下列函数的定义域: (1)y=;(2)y=; (3)y=+。 解　(1)分母|x|-x≠0,即|x|≠x,所以x<0。 故函数的定义域为(-∞,0)。 (2)4-x2≥0,即x2≤4,所以-2≤x≤2。 故函数的定义域为[-2,2]。 (3)要使函数有意义,必须有⇒ 故函数的定义域是[-1,2)∪(2,+∞)。 类型二 相同函数的判断 　　【例2】　下列各组函数中,表示同一个函数的是(C) A.f(x)=x-1,g(x)=-1 B.f(x)=|x|,g(x)=()2 C.f(x)=x,g(x)= D.f(x)=2x,g(x)= 解析　对于A选项,f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为{x|x≠0},故f(x)与g(x)不表示同一个函数。对于B选项,f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为{x|x≥0},故f(x)与g(x)不表示同一个函数。对于C选项,f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为R,且g(x)=x=f(x),故f(x)与g(x)表示同一个函数。对于D选项,f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为R,g(x)=2|x|,对应关系不同,故f(x)与g(x)不表示同一个函数。故选C。 　　判断两个函数的对应关系是否相同,要看对于定义域内任意一个相同的自变量的值,按照这两个对应关系算出的函数值是否相同 　　【变式训练】　下列四组函数中,表示同一个函数的是 (C) A.f(x)=,g(x)= B.f(x)=2x,g(x)= C.f(x)=x2+1,g(t)=t2+1 D.f(x)=x,g(x)= 解析　对于选项A,不是同一个函数,定义域不同,f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为[0,+∞)。对于选项B,不是同一个函数,定义域不同,f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为{x|x≠0}。对于选项C,是同一个函数,两函数的定义域、对应关系、值域都分别相同。对于选项D,不是同一个函数,定义域不同,f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为{x|x≠0}。故选C。 类型三 求函数的值域 　　【例3】　求下列函数的值域。 (1)y=2x-1(x∈N*);(2)y=; (3)y=x2-2x+3,x∈[0,3)。 解　(1)观察法:值域为{1,3,5,7,…}。 (2)因为2+x2≥2,所以0<≤,即值域为0,。 (3)(配方法)y=x2-2x+3=(x-1)2+2, 由x∈[0,3),再结合函数的图象(如图), 可得函数的值域为[2,6)。 　　求函数值域的常用方法 (1)观察法: