3.1.1 函数的概念1课时 微讲小本-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

第三章　函数的概念与性质 3.1　函数的概念及其表示 3.1.1　函数的概念 第1课时　函数的概念 情境导入 课程标准 　　 许多事物都是动态变化的,我们可以感受它们的变化。早晨,太阳从东方冉冉升起;气温随时间悄悄的改变;小树随着时间的变化不断长高……在这些变化的现象中都存在着两个变量,当一个变量变化时,另一个变量也随之发生变化。这两个变量之间存在着函数关系。 1.在用变量之间的依赖关系描述函数的基础上,用集合语言和对应关系刻画函数,建立完整的函数概念。 2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用,了解构成函数的要素,能求简单函数的定义域。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1.函数的概念 定义 设A,B是非空的实数集,如果对于集合A中的任意一个数x,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数 三要素 对应关系 y=f(x) 定义域 x的取值范围A 值域 与x的值相对应的y值的集合{f(x)|x∈A} 2.常见函数的定义域和值域 函数 一次函数 反比例 函数 二次函数 a>0 a<0 对应关系 y=ax+b (a≠0) y= (k≠0) y=ax2+bx+c(a≠0) y=ax2+bx+c(a≠0) 定义域 R {x|x≠0} R R 值域 R {y|y≠0} yy≥ yy≤ 微提醒 　对于函数的定义,需注意以下几点: (1)集合A,B都是非空的实数集; (2)集合A中元素的无剩余性; (3)集合B中元素的可剩余性,即集合B不一定是函数的值域,但函数的值域一定是B的子集。 微思考 1.在函数的概念中,如果函数y=f(x)的定义域与对应关系确定,那么函数的值域确定吗? 提示:确定。 2.如果函数y=f(x)的定义域、值域确定,那么对应关系确定吗? 提示:不确定,例如函数的定义域为A={-1,0,1},值域为B={0,1},则对应关系为f(x)=x2或f(x)=|x|均可。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 类型一 函数的概念 　　【例1】　(1)下列集合A到集合B的对应f是函数的是 (A) A.A={-1,0,1},B={0,1},f:A中的数平方 B.A={0,1},B={-1,0,1},f:A中的数开方 C.A=Z,B=Q,f:A中的数取倒数 D.A=R,B={正实数},f:A中的数取绝对值 解析　按照函数定义,选项B,集合A中的元素1对应集合B中的元素±1,不符合函数定义中一个自变量的值对应唯一的函数值的条件;选项C,元素0取倒数没有意义,也不符合函数定义中集合A中任意元素都对应唯一函数值的要求;选项D,集合A中的元素0在集合B中没有元素与其对应,也不符合函数定义中集合A中的任意元素都对应唯一函数值的要求,只有选项A符合函数定义。 (2)下列图形中,不能确定y是x的函数的是 (D) A　　B C　　D 解析　任作一条垂直于x轴的直线x=a,移动直线,根据函数的定义可知,此直线与函数图象至多有一个交点。结合选项可知D不满足要求,因此不表示函数关系。 　　(1)根据图形判断对应关系是否为函数的方法。①任取一条垂直于x轴的直线l;②在定义域内平行移动直线l;③若l与图形有且只有一个交点,则是函数;若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点,则不是函数。(2)根据概念判断一个对应关系是否为函数的方法。 　　【变式训练】　(1)若函数y=f(x)的定义域为M={x|-2≤x≤2},值域为N={y|0≤y≤2},则函数y=f(x)的图象可能是 (B) ABCD 解析　A项,定义域不是{x|-2≤x≤2},C项,图形不满足唯一性,D项,值域不是{y|0≤y≤2}。故选B。 (2)已知集合M={-1,1,2,4},N={1,2,4},给出下列四个对应关系,其中能构成从M到N的函数的是(D) A.y=x2 B.y=x+1 C.y=x-1 D.y=|x| 解析　只有y=|x|是符合题意的对应关系。故选D。 类型二 求函数的定义域 　　【例2】　求下列函数的定义域。 (1)y=; (2)y=·; (3)y=; (4)y=+。 解　(1)由题意,知 即 所以其定义域为。 (2)由题意,知所以x=1,所以其定义域为{x|x=1}。 (3)由题意,知即 所以其定义域为{x|x≤1,且x≠0}。 (4)由题意,知即 所以其定义域为{x|≤x≤,或-≤x≤-}。 　　求函数定义域的关键在于列全限制条件并准确求解方程或不等式(组)。 　　【变式训练】　（1）函数f(x)=+的定义域为 (C) A. B. C. D. 解析　要使函数有意义,则解得x≥-,且x≠2,即函数的定