2.3 二次函数与一元二次方程、不等式2课时 微讲小本-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

第2课时　一元二次不等式的应用 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 类型一 简单的分式不等式的解法 　　【例1】　解下列不等式: (1)<0;(2)≤1。 解　(1)<0⇒(x-3)(x+2)<0⇒-2<x<3, 所以原不等式的解集为{x|-2<x<3}。 (2)因为≤1,所以-1≤0, 所以≤0,即≥0。 此不等式等价于(x-4)≥0且x-≠0, 解得x<或x≥4, 所以原不等式的解集为。 　　简单分式不等式的解法 (1)对于比较简单的分式不等式,可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解,但要注意分母不为零。(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式,先移项再通分(不要去分母),使之转化为不等号右边为零,然后再用上述方法求解 　　【变式训练】　解下列不等式: (1)≥0;(2)<3。 解　(1)根据商的符号法则,不等式≥0 可转化成不等式组 解这个不等式组,可得x≤-1或x>3。 即知原不等式的解集为{x|x≤-1,或x>3}。 (2)不等式<3可改写为-3<0, 即<0。 可将这个不等式转化成2(x-1)(x+1)<0, 解得-1<x<1。 所以原不等式的解集为{x|-1<x<1}。 类型二 一元二次不等式恒成立问题 　　【例2】　(1)若不等式2kx2+kx-<0对一切实数x都成立,则k的取值范围为 (A) A.(-3,0] B.[-3,0) C.[-3,0] D.(-3,0) 解析　①k=0时,-<0恒成立,排除B、D。②若k=-3,则(4x+1)2>0,排除C,故选A。 (2)若不等式-x2+2x+3≤a2-3a对任意实数x恒成立,求实数a的取值范围。 解　解法一:原不等式可化为x2-2x+a2-3a-3≥0, 因为该不等式对任意实数x恒成立,所以Δ≤0, 即4-4(a2-3a-3)≤0,即a2-3a-4≥0, 解得a≤-1或a≥4, 所以实数a的取值范围是{a|a≤-1,或a≥4}。 解法二:-x2+2x+3=-(x-1)2+4≤4, 所以a2-3a≥4,即a2-3a-4≥0, 解得a≤-1或a≥4, 所以实数a的取值范围是{a|a≤-1,或a≥4}。 　　(1)此类恒正或恒负问题往往结合图象用判别式法求解。但要注意二次项系数是否为0的讨论。(2)对于任意实数x,不等式y≤m恒成立,应让ymax≤m。 　　【变式训练】　(1)若不等式x2+2x-1≥a2-3a对任意实数x恒成立,求实数a的取值范围。 解　令g(x)=x2+2x-1=(x+1)2-2, 所以g(x)min=-2,所以a2-3a≤-2, 可得1≤a≤2, 所以实数a的取值范围为{a|1≤a≤2}。 (2)若对任意实数x,关于x的不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1<0恒成立,求实数a的取值范围。 解　①若a2-1=0,则a=±1。 当a=1时,原不等式为-1<0,解集为R,满足题意; 当a=-1时,原不等式为2x-1<0,解集为,与题意不符。 ②若a≠±1,则当时,不等式的解集为R,解得-<a<1。 综上,实数a的取值范围是。 类型三 一元二次不等式的实际应用 　　【例3】　某物流公司购买了一块长AM=30米,宽AN=20米的矩形地块,计划把图中矩形ABCD建设为仓库,其余地方为道路和停车场,要求顶点C在地块对角线MN上,B,D分别在边AM,AN上,假设AB的长度为x米。 (1)求矩形ABCD的面积S关于x的函数解析式; (2)要使仓库ABCD的占地面积不少于144平方米,则AB的长度应在什么范围内? 解　(1)根据题意,得△NDC与△NAM相似, 所以=,即=, 解得AD=20-x。 所以矩形ABCD的面积S关于x的函数为S=20x-x2(0<x<30)。 (2)要使仓库ABCD的占地面积不少于144平方米,即20x-x2≥144, 化简得x2-30x+216≤0, 解得12≤x≤18, 所以AB长度的取值范围为{x|12≤x≤18}。 　　解答不等式应用题,首先要认真审题,分清题意,建立合理的不等式模型,防止在解答此题时,建立不正确的不等式20x-x2≤144,错误的原因是对“不少于”含义的错误理解。 　　【变式训练】　某热带风暴中心B位于海港城市A南偏东60°的方向,与A市相距400 km。该热带风暴中心B以40 km/h的速度向正北方向移动,影响范围的半径是350 km。问:从此时起,经多少时间后A市将受热带风暴影响,大约受影响多长时间? 解　如图,以A市为原点,正东方向为x轴建立直角坐标系。 因为AB=400,∠BAx=30°, 所以热带风暴中心B的坐标为(200,-200),x h后热带风暴中心B到达点P(200,40x-200)处。 由已知,A市受热带风暴影响时,有AP≤350, 即(200)2+(40