2.3 二次函数与一元二次方程、不等式1课时 微讲小本-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

2.3　二次函数与一元二次方程、不等式 第1课时　一元二次不等式的解法 情境导入 课程标准 　　汽车在行驶中,由于惯性,刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住,我们称这段距离为“刹车距离”,刹车距离是分析事故的一个重要因素。一般来说,刹车距离与车速是二次函数关系。我们可以根据汽车的刹车距离估计汽车是否超过规定限速。 1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程,了解一元二次不等式的现实意义。 2.能借助一元二次函数求解一元二次不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解集。 1.一元二次不等式的概念及形式 (1)概念:我们把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式。 (2)一般形式: ①ax2+bx+c>0(a,b,c均为常数,a≠0); ②ax2+bx+c≥0(a,b,c均为常数,a≠0); ③ax2+bx+c<0(a,b,c均为常数,a≠0); ④ax2+bx+c≤0(a,b,c均为常数,a≠0)。 (3)解集:一般地,使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个不等式的解,一元二次不等式的所有解组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集。 2.“三个二次”(二次函数、一元二次方程、一元二次不等式)的关系 Δ>0 Δ=0 Δ<0 y=ax2+bx+c(a>0)的图象 ax2+bx+c=0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1,x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1=x2=- 没有实数根 ax2+bx+c>0(a>0)的解集 {x|x<x1,或x>x2} xx≠- R ax2+bx+c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ⌀ ⌀ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 微思考 1.有人说:当Δ>0时,表中的x1,x2有三重身份,你能说出是哪三重身份吗? 提示:x1,x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标(即二次函数的零点),又是一元二次方程的两个解,还是一元二次不等式解集的端点值。 2.当Δ=0时,不等式ax2+bx+c≥0(a>0)与ax2+bx+c≤0(a>0)的解集分别是什么? 提示:R,。 类型一 不含参数的一元二次不等式的解法 　　【例1】　解下列不等式: (1)2x2-3x-2>0; (2)-3x2+6x-2>0; (3)4x2-4x+1≤0; (4)x2-2x+2>0。 解　(1)方程2x2-3x-2=0的实数根是x1=-,x2=2。因为对应函数的图象是开口向上的抛物线,所以原不等式的解集是xx<-,或x>2。 (2)不等式可化为3x2-6x+2<0。因为3x2-6x+2=0的判别式Δ=36-4×3×2=12>0,所以方程3x2-6x+2=0的实数根是x1=1-,x2=1+。 又因为函数y=3x2-6x+2的图象是开口向上的抛物线,所以原不等式的解集是x1-<x<1+。 (3)方程4x2-4x+1=0的实数根是x1=x2=,函数y=4x2-4x+1的图象是开口向上的抛物线,所以原不等式的解集是xx=。 (4)因为x2-2x+2=0的判别式Δ<0,所以方程x2-2x+2=0无实数根。又因为函数y=x2-2x+2的图象是开口向上的抛物线,所以原不等式的解集为R。 　　解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 (1)化标准。通过对不等式的变形,使不等式的右侧为0,使二次项系数为正。(2)判别式。对不等式的左侧进行因式分解,若不能分解,则计算对应方程的判别式。(3)求实根。求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实根。(4)画草图。根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图。(5)写解集。根据图象写出不等式的解集。 　　【变式训练】　解下列不等式: (1)4x2-20x<-25; (2)(x-3)(x-7)<0; (3)-3x2+5x-4<0; (4)x(1-x)≥x(2x-3)+1。 解　(1)不等式可化为4x2-20x+25<0,由于Δ=0,且对应的二次函数的图象是开口向上的抛物线,所以不等式的解集是⌀。 (2)由题意知不等式对应方程的两个根是3和7,且对应的二次函数的图象是开口向上的抛物线,故不等式的解集是{x|3<x<7}。 (3)不等式-3x2+5x-4<0可化为3x2-5x+4>0,由于判别式Δ=25-48=-23<0,函数y=3x2-5x+4的图象开口向上,所以不等式的解集是R。 (4)不等式x(1-x)≥x(2x-3)+1可化为3x2-4x+1≤0。因为方程3x2-4x+1=0的两个根是,1,函数y=3x2-4x+1的图象开口向上,所以不等式的解集是x≤x≤1。 类型二 含参数的一元二次不等式的解法 　　命题方向1:对“两根大小”的讨论 　　【例2】　(1)若0<a<1,则不等式(x-a)x-