2.2 基本不等式2课时 微讲小本-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

第2课时　基本不等式的应用 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 类型一 求函数最值的常见技巧 　　技巧1:配凑法求最值 　　【例1】　已知x>0,求y=的最大值。 解　y==, 因为x>0,所以x+≥2=2,所以y≤=1, 当且仅当x=,即x=1时等号成立。 故当x=1时,y取得最大值为1。 　　在利用基本不等式求两数和的最值时,若“一正、二定、三相等”中的条件不满足时,则需要对条件作出调整和转化,使其满足上述条件,方可利用基本不等式。转化的方法有添项、拆项、凑项、变号等 　　【变式训练】　(1)已知0<x<,求x(1-2x)的最大值。 解　因为0<x<,所以1-2x>0, 所以x(1-2x)=×2x(1-2x)≤=, 当且仅当2x=1-2x0<x<, 即x=时,x(1-2x)的最大值为。 (2)已知x>-1,求y=的最小值。 解　因为x>-1,所以x+1>0, 所以y===(x+1)++5≥2+5=9, 当且仅当x+1=,即x=1时等号成立, 所以当x=1时,函数y=(x>-1)取得最小值9。 　　技巧2:常量代换法求最值 　　【例2】　已知正数x,y满足+=1,则x+2y的最小值是 18 。  解析　解法一:因为x>0,y>0,且+=1, 所以y=,由y>0⇒>0, 又x>0,所以x-8>0, 则x+2y=x+=x+=x+2+=(x-8)++10≥2+10=18,当且仅当x-8=, 即x=12(此时y=3)时,等号成立, 故当x=12,y=3时,x+2y取得最小值,为18。 解法二:因为+=1,所以x+2y=(x+2y)×1=(x+2y)·+=8+2++≥10+2=18,当且仅当=,即时,等号成立,x+2y取得最小值18。 　　若题中不存在满足基本不等式的条件,则需要创造条件对式子进行恒等变形,灵活运用“1”的代换。在不等式解题过程中,常常将不等式乘“1”,除以“1”或将不等式中的某个常数用等于“1”的式子代替。 　　【变式训练】　(1)若ab>0,+=1,则a+b的最小值是 (B) A.4 B.7+4 C.8 D.7+8 解析　因为ab>0,所以a+b=(a+b)=3+4++≥7+2=7+4,当且仅当=时取等号,故a+b的最小值是7+4。故选B。 (2)若正数x,y满足x+4y-xy=0,则x+y的最小值为 (A) A.9 B.8 C.5 D.4 解析　根据题意,x+4y-xy=0⇒x+4y=xy⇒+=1,则x+y=(x+y)=5++≥5+2=5+4=9,当且仅当x=2y时等号成立,则x+y的最小值为9。故选A。 　　技巧3(拓广探索):多次放缩求最值 　　【例3】　若a,b∈R,ab>0,则的最小值为 4 。  解析　因为=++,所以由基本不等式得++≥2+=4ab +≥2=4,当且仅当=,4ab=同时成立时等号成立。 　　多次放缩要注意等号成立的条件。 　　【变式训练】　已知a>b>0,求a2+的最小值。 解　因为b(a-b)≤=, 所以a2+≥a2+≥4。 当且仅当b=a-b且a2=,即a=,b=时等号成立。 故a2+的最小值为4。 类型二 基本不等式的实际应用 　　【例4】　某校拟建一座游泳池,池的深度一定,现有两个方案,方案一:游泳池底面为矩形且面积为200平方米,池的四周墙壁建造单价为每米400元,中间一条隔壁(与矩形的一边所在直线平行)建造单价为每米100元,池底建造单价为每平方米60元(池壁厚度忽略不计);方案二:游泳池底面为圆且面积为64π平方米,池的四周墙壁建造单价为每米500元,中间一条隔壁(为圆的直径)建造单价为每米100元,池底建造单价为每平方米60元(池壁厚度忽略不计)。(注:π≈3.14) (1)如采用方案一,游泳池的长设计为多少米时,可使总造价最低? (2)若方案一以最低总造价计算,试比较两种方案哪种方案的总造价更低? 解　(1)设游泳池底面的一边为x米,则另一边为米, 总造价为200×60+x+×2×400+100x, 由基本不等式可得200×60+x+×2×400+100x=12 000+900x+≥12 000+2=36 000, 当且仅当900x=,即x=时取等号; 或者总造价为200×60+x+×2×400+×100, 由基本不等式可得200×60+x+×2×400+×100=12 000+800x+≥12 000+2=36 000, 当且仅当800x=时,即x=15时取等号。 综上,当游泳池的长和宽分别为15米,米时,总造价最低。 (2)方案二总造价为64π×60+×2π×500+×2×100≈38 777.6(元),因为36 000<38 777.6,所以方案一的总造价更低。 　　求实际问题中最值的解题四步骤 (1)先读懂题意,设出变量,理清思路,列出函数关系