2.2 基本不等式1课时 微讲小本-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

2.2　基本不等式 第1课时　基本不等式 情境导入 课程标准 　　某金店有一架天平,由于左右两臂长略有不等,所以直接称重不准确。有一个顾客要买一串金项链,店主分别把项链放于左右两盘各称一次,得到两个不同的质量a和b,然后以作为项链的质量来计算,试问,为何店主不以真实质量来售卖? 1.掌握基本不等式≤(a>0,b>0,当且仅当a=b时等号成立)。 2.结合具体实例,能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题。 1.基本不等式 ∀a,b∈R,有a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立。特别地,如果a>0,b>0,我们用,分别代替上式中的a,b,可得≤,当且仅当a=b时,等号成立。通常称此不等式为基本不等式,其中,叫做正数a,b的算术平均数,叫做正数a,b的几何平均数。 2.基本不等式表明 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 3.基本不等式与最值 已知x,y都为正数,则 (1)若积xy=P(P为定值),则当x=y时,和x+y取得最小值2。 (2)若和x+y=S(S为定值),则当x=y时,积xy取得最大值。 微提醒 　基本不等式≥的条件是a,b都是正数,取等号的条件是a=b,当a<0,b<0时,则有≤-。 微思考 1.基本不等式成立的条件“a>0,b>0”能省略吗?请举例说明。 提示:不能,如≥2是不成立的。 2.若正数a≠b,基本不等式会怎样? 提示:若a≠b,则≤(a>0,b>0)中的等号不成立。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 类型一 对基本不等式的理解 　　【例1】　判断下列结论是否正确。 (1)若a∈R,则a2+9≥6a; (2)若ab>0,则a+b≥2; (3)若ab>0,则+≥2; (4)若a<0,b<0,则+≤-2。 　　答案　(1)正确。(2)错误。(3)正确。(4)错误。 　　利用基本不等式比较实数大小的注意事项 (1)利用基本不等式比较大小,常常要注意观察其形式(和与积)。(2)利用基本不等式时,一定要注意条件是否满足a>0,b>0。 　　【变式训练】　(多选)下列式子正确的是 (BD) A.a2+1>2a B.x+≥2 C.≥2 D.x2+≥1 解析　因为a2-2a+1=(a-1)2≥0,所以a2+1≥2a,故A不正确;对于B,当x>0时,x+=x+≥2(当且仅当x=1时取“=”),当x<0时,x+=-x-≥2(当且仅当x=-1时取“=”),故B正确;对于C,若a=b=-1,则=-2<2,故C不正确;对于D,x2+=x2+1+-1≥1(当且仅当x=0时取“=”),故D正确。 类型二 用基本不等式求简单的最值问题 　　【例2】　(1)求函数y=+x(x>3)的最小值。 解　y=+x=+(x-3)+3, 因为x>3,所以x-3>0,>0, 所以y≥2+3=5。 当且仅当=x-3,即x=4时,y取得最小值5。 (2)已知0<x<,求y=x(1-3x)的最大值。 解　因为0<x<,所以1-3x>0, y=x(1-3x)=·3x·(1-3x)≤=, 当且仅当3x=1-3x,即x=时,取等号, 所以当x=时,y取得最大值。 　　利用基本不等式求函数的最值 (1)利用基本不等式求函数最值的关键是获得定值条件,解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创造应用基本不等式的条件。(2)等号取不到时,注意利用求函数最值的其他方法 　　【变式训练】　(1)已知x<,则函数y=4x-2+的最大值为 1 。  解析　因为x<,所以5-4x>0。所以y=4x-2+=-(5-4x)++3≤-2+3=-2+3=1,当且仅当5-4x=,即x=1时,上式等号成立。故当x=1时,y取得最大值为1。 (2)若x>1,则函数y=的最小值为 4 。  解析　因为x>1,所以y===x+1+=x-1++2≥2+2=4,当且仅当=x-1,即(x-1)2=1时,等号成立,所以当x=2时,y取得最小值为4。 类型三 用基本不等式证明不等式 　　【例3】　(1)已知a,b,c为不全相等的正实数。求证:a+b+c>++。 证明　因为a>0,b>0,c>0,所以a+b≥2>0,b+c≥2>0,c+a≥2>0, 所以2(a+b+c)≥2(++), 即a+b+c≥++。 因为a,b,c为不全相等的正实数, 所以等号不能取得, 故a+b+c>++。 (2)已知a,b,c均为正实数,且a+b+c=1,求证:-1·-1·-1≥8。 证明　因为a,b,c均为正实数,a+b+c=1, 所以-1===+≥, 同理-1≥,-1≥, 以上三个不等式两边分别相乘得-1·-1·-1≥8, 当且仅当a=b=c=时取等号。 　　在解题过程中,把数、式合理地拆分,或者恒等地配凑适当的数或式,这是代数变形常用的方法,也是一种