2.1 等式性质与不等式性质2课时 微讲小本-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

第2课时　等式性质与不等式性质 情境导入 课程标准 　　在日常生活中,糖水中加些糖后就会变得更甜,也可以用不等式来表示这一现象。若a克糖水中含b克糖(a>b>0),再加m(m>0)克糖,全部溶解后糖水更甜,用一个不等式来表示这个现象为>。 1.掌握不等式的基本性质。 2.运用不等式的性质解决有关问题。 1.等式的性质 性质1　如果a=b,那么b=a; 性质2　如果a=b,b=c,那么a=c; 性质3　如果a=b,那么a±c=b±c; 性质4　如果a=b,那么ac=bc; 性质5　如果a=b,c≠0,那么=。 2.不等式的性质 性质1　如果a>b,那么b<a;如果b<a,那么a>b。即a>b⇔b<a。 性质2　如果a>b,b>c,那么a>c,即a>b,b>c⇒a>c。 性质3　如果a>b,那么a+c>b+c。推论:a+b>c⇒a>c-b。 性质4　如果a>b,c>0,那么ac>bc;如果a>b,c<0,那么ac<bc。 性质5　如果a>b,c>d,那么a+c>b+d。 性质6　如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd。 性质7　如果a>b>0,那么an>bn(n∈N,n≥2)。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 微提醒 1.在应用不等式时,一定要搞清它们成立的前提条件。不可强化或弱化成立的条件。 2.要注意“箭头”是单向的还是双向的,也就是说每条性质是否具有可逆性。 微思考 1.如果a>b,那么ac>bc成立吗? 提示:不一定成立。 2.使用不等式的性质6,7时,要注意什么条件? 提示:各数均为正数。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 类型一 判断不等式的真假 　　【例1】　分别判断下列各命题是否成立,并简述理由。 (1)a>b⇒ac2>bc2; (2)a>b,c>d⇒a-c>b-d; (3)a>b,c<d,cd≠0⇒>; (4)|a|>b>0⇒an>bn(n∈N,n≥1); (5)a>b>0,c>d>0⇒>; (6)ac2>bc2⇒a2>b2。 解　(1)不成立,当c=0时ac2=bc2。 (2)不成立,令a=5,b=4,c=3,d=1,有a-c<b-d。 (3)不成立,当a>b>0,c<0,d>0时显然有<。 (4)不成立,|a|>b>0⇒|a|n>bn,但|a|n与an可能相等,也可能互为相反数。 (5)成立,因为c>d>0,所以>>0。 又因为a>b>0,所以>>0,即>。 (6)不成立,ac2>bc2⇒a>b,但a>b不能推出a2>b2。 　　(1)不等式的运算一定要依据加、乘规律以及传递性进行,不能自己“制造”性质及运算。(2)取特殊值要有一定的目的性、方向性,盲目取值,既费时间,效果又差。 　　【变式训练】　(1)(多选)下列命题中正确的是 (AC) A.若a>b,则a-c>b-c B.若a>b,且a+c>b+d,则c>d C.若>,且c>0,则ac>bc D.若a>b,b≠0,则>1 (2)已知a+b>0,b<0,那么a,b,-a,-b的大小关系是 (C) A.a>b>-b>-a B.a>-b>-a>b C.a>-b>b>-a D.a>b>-a>-b 解析　取满足条件的a=3,b=-1,则a>-b>b>-a。 类型二 利用不等式性质证明简单不等式 　　【例2】　若a>b>0,c<d<0,e<0,求证:>。 证明　因为c<d<0,所以-c>-d>0。 又因为a>b>0,所以a-c>b-d>0。 所以(a-c)2>(b-d)2>0。 两边同乘以, 得<。 又e<0,所以>。 　　利用不等式性质证明不等式注意事项 (1)利用不等式性质及其推论可以证明一些不等式。解决此类问题一定要在理解的基础上,记准、记熟不等式性质并注意在解题中灵活准确地加以应用。(2)应用不等式性质进行推导时,应注意紧扣不等式性质成立的条件,且不可省略条件或跳步推导,更不能随意构造性质与法则。 　　【变式训练】　已知a>b,e>f,c>0,求证:f-ac<e-bc。 证明　因为a>b,c>0,所以ac>bc,即-ac<-bc。 又因为e>f,所以e-bc>f-ac,即f-ac<e-bc得证。 类型三 求代数式的取值范围 　　【例3】　已知1<a<4,2<b<8,试求2a+3b与a-b的取值范围。 解　因为1<a<4,2<b<8, 所以2<2a<8,6<3b<24。 根据不等式的同向可加性得8<2a+3b<32。 又2<b<8,得-8<-b<-2,所以-7<a-b<2。 故2a+3b的取值范围是8<2a+3b<32, a-b的取值范围是-7<a-b<2。 　　同向不等式具有可加性与可乘性,但是不能相减或相除,应用时,要充分利用所给条件进行适当变形来求范围,注意变形的等价性 　　【变式训练】　已知12<a<60,1