2.1 等式性质与不等式性质1课时 微讲小本-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

第二章　一元二次函数、方程和不等式 2.1　等式性质与不等式性质 第1课时　不等关系与不等式 情境导入 课程标准 　　 ①某城市的高楼有高有矮,有的高度相同;②任意两个实数之间有三种关系:a>b,a=b,a<b;③同号两数的积为正值……类似这样的问题,反映在数量关系上,就是相等与不等。 1.能用不等式(组)表示实际问题的不等关系。 2.初步学会作差法比较两个实数的大小。 相等关系与不等关系 (1)在现实世界和日常生活中,大量存在着相等关系和不等关系。 (2)关于实数a,b大小的比较,有以下基本事实: 如果a-b是正数,那么a>b; 如果a-b等于0,那么a=b; 如果a-b是负数,那么a<b,反过来也对。 这个基本事实可以表示为 a>b⇔a-b>0 a=b⇔a-b=0 a<b⇔a-b<0 从上述基本事实可知,要比较两个实数的大小,可以转化为比较它们的差与0的大小。 (3)一般地,∀a,b∈R,有a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立。 微思考 1.不等式“a≤b”的含义是什么?只有当“a<b”与“a=b”同时成立时,该不等式才成立,是吗? 提示:“a≤b”的含义是“a<b或a=b”。不是“a<b”与“a=b”同时成立,该不等式才成立。 2.观察教材P39图2.1-4(如图①),阅读有关内容。 ① 你能用类似的方法,在图②中找出一些相等关系和不等关系吗? ② 提示:(a+b)2-(a-b)2=4ab,(a+b)2≥4ab等。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 类型一 用不等式(组)表示不等关系 　　【例1】　(1)在日常生活中,我们经常看到下列标志: ①你知道各图中的标志有何作用?其含义是什么吗? ②你能用一个数学式子表示上述关系吗?如何表示? 解　①a.最低限速:限制行驶时速v不得低于50公里; b.限制质量:装载总质量G不得超过10 t; c.限制高度:装载高度h不得超过3.5 m; d.限制宽度:装载宽度a不得超过3 m。 ②a.v≥50;b.G≤10;c.h≤3.5;d.a≤3。 (2)某汽车公司因发展需要,需购进一批汽车,计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车,根据需要,A型汽车至少买5辆,B型汽车至少买6辆,写出满足上述所有不等关系的不等式(组)。 解　设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆、y辆, 则 　　用不等式(组)表示不等关系的步骤 (1)审清题意,明确表示不等式关系的关键词语:至多、至少、大于等。(2)适当的设未知数表示变量。(3)用不等号表示关键词语,并连接变量得不等式。此类问题的难点是如何正确地找出题中的隐含不等关系,如由变量的实际意义限制的范围 　　【变式训练】　京沪线上,复兴号列车跑出了350 km/h的速度,这个速度的2倍再加上100 km/h,不超过民航飞机的最低时速,可这个速度已经超过了普通客车的3倍,请你用不等式表示三种交通工具的速度关系。 解　设复兴号列车速度为v1, 民航飞机速度为v2, 普通客车速度为v3, v1,v2的关系:2v1+100≤v2, v1,v3的关系:v1>3v3。 类型二 实数(式)的比较大小 　　【例2】　比较下列各式的大小: (1)当x≤1时,比较3x3与3x2-x+1的大小。 (2)当x,y,z∈R时,比较5x2+y2+z2与2xy+4x+2z-2的大小。 解　(1)3x3-(3x2-x+1)=(3x3-3x2)+(x-1) =3x2(x-1)+(x-1) =(3x2+1)(x-1)。 因为x≤1,所以x-1≤0,而3x2+1>0。 所以(3x2+1)(x-1)≤0, 所以3x3≤3x2-x+1。 (2)因为5x2+y2+z2-(2xy+4x+2z-2) =4x2-4x+1+x2-2xy+y2+z2-2z+1 =(2x-1)2+(x-y)2+(z-1)2≥0, 所以5x2+y2+z2≥2xy+4x+2z-2。 　　作差法比较大小的步骤 　　【变式训练】　已知x,y∈R,P=2x2-xy+1,Q=2x-,试比较P,Q的大小。 解　因为P-Q=2x2-xy+1-=x2-xy++x2-2x+1=+(x-1)2≥0,所以P≥Q。 类型三 不等式的实际应用 　　【例3】　某单位组织职工去某地参观学习,需包车前往。甲车队说:“如领队买全票一张,其余人可享受7.5折优惠。”乙车队说:“你们属团体票,按原价的8折优惠。”这两车队的原价、车型都是一样的,试根据单位去的人数,比较两车队的收费哪家更优惠。 解　设该单位职工有n人(n∈N*),全票价为x元,坐甲车需花y1元,坐乙车需花y2元, 则y1=x+x·(n-1)=x+xn, y2=nx。 因为y1-y2=x+xn-nx =x-nx=x, 当n=5