1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定 微讲小本-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定 情境导入 课程标准 　　一位探险家被土人抓住,土人首领说:“如果你说真话,你将被烧死,说假话,将被五马分尸。”试想想,探险家该如何保命? 1.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定。 2.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定。 1.全称量词命题的否定 全称量词 命题p p 结论 ∀x∈M, p(x) ∃x∈M, p(x) 全称量词命题的否定是存在量词命题 2.存在量词命题的否定 存在量词 命题p p 结论 ∃x∈M, p(x) ∀x∈M,􀱑p(x) 存在量词命题的否定是全称量词命题 微提醒 1.写出一个全称量词命题或存在量词命题的否定时,通常要将命题的两个地方进行改变,一是量词符号要改变,二是结论要进行否定。 2.全称量词命题(或存在量词命题)与其否定的真假性恰好相反。 微思考 1.你知道的常见量词有哪些?它们的否定是什么? 提示:常见量词及其否定: 词语 是 一定是 都是 大于 小于 且 词语的 否定 不是 不一 定是 不都是 小于或 等于 大于或 等于 或 词语 必有 一个 至少 有n个 至多 有一个 所有x 成立 所有x 不成立 能 词语的 否定 一个 也没有 至多有 n-1个 至少 有两个 存在一个 x不成立 存在一个 x成立 不能 2.回答下列问题: (1)任何一个全称量词命题的否定都是存在量词命题吗? (2)任何存在量词命题的否定都是全称量词命题吗? 提示:(1)是　(2)是 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 类型一 全称量词命题的否定 　　【例1】　写出下列命题的否定,并判断原命题否定的真假。 (1)不论m取何实数,方程x2+x-m=0必有实数根; (2)等圆的面积相等; (3)对任意x∈Z,x2的个位数字不等于3; (4)每个三角形至少有两个锐角。 解　(1)该命题可以表述为“对所有的实数m,方程x2+x-m=0有实数根”,其否定是“存在实数m,使得x2+x-m=0没有实数根。”因为当Δ=12-4×1×(-m)=1+4m<0,即m<-时,一元二次方程x2+x-m=0没有实数根,所以原命题的否定是真命题。 (2)该命题可以表述为“所有等圆的面积相等”,其否定是“存在一对等圆,其面积不相等”。由等圆的概念知原命题的否定是假命题。 (3)该命题的否定:至少存在一个x∈Z,x2的个位数等于3,因为02=0,12=1,22=4,32=9,42=16,52=25,62=36,72=49,82=64,92=81,…,所以这是一个假命题。 (4)该命题的否定:有的三角形至多有一个锐角,由三角形的内角和为180°知原命题的否定为假命题。 　　1.对全称量词命题否定的两个步骤 (1)改变量词:把全称量词换为恰当的存在量词。(2)否定结论:原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等。 2.全称量词命题否定后的真假判断方法 全称量词命题的否定是存在量词命题,其真假性与全称量词命题相反;要说明一个全称量词命题是假命题,只需举一个反例即可。 　　【变式训练】　命题“所有实数的平方是非负实数”的否定是 (C) A.所有实数的平方是负实数 B.不存在一个实数,它的平方是负实数 C.存在一个实数,它的平方是负实数 D.不存在一个实数它的平方是非负实数 解析　原命题是一个全称量词命题,它的否定是一个存在量词命题,要在改变量词的同时否定结论,将“所有”变“存在”,“非负实数”变“负实数”。则其否定为“存在一个实数,它的平方是负实数”。 类型二 存在量词命题的否定 　　【例2】　(1)命题“∃x∈∁RQ,x3∈Q”的否定是 (D) A.∃x∈∁RQ,x3∉Q B.∃x∉∁RQ,x3∈Q C.∀x∉∁RQ,x3∉Q D.∀x∈∁RQ,x3∉Q 解析　因为存在量词命题的否定是全称量词命题,所以命题“∃x∈∁RQ,x3∈Q”的否定是“∀x∈∁RQ,x3∉Q”。 (2)命题“关于x的方程ax2-x-2=0在{x|x>0}上有解”的否定是 (B) A.∃x∈{x|x>0},ax2-x-2≠0 B.∀x∈{x|x>0},ax2-x-2≠0 C.∃x∈{x|x<0},ax2-x-2=0 D.∀x∈{x|x<0},ax2-x-2=0 解析　该命题可以表述为“∃x∈{x|x>0},ax2-x-2=0”,其否定是“∀x∈{x|x>0},ax2-x-2≠0”。 　　1.对存在量词命题否定的两个步骤 (1)改变量词:把存在量词换为恰当的全称量词。(2)否定结论:原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等。 2.存在量词命题否定后的真假判断 存在量词命题的否定是全称量词命题,其真假性与存在量词命