1.5.1 全称量词与存在量词 微讲小本-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

1.5　全称量词与存在量词 1.5.1　全称量词与存在量词 情境导入 课程标准 　　学校为了迎接秋季田径运动会,正在排练由500名学生参加的开幕式团体操表演。这500名学生符合下列条件:①所有学生都来自高二年级;②至少有30名学生来自高二(1)班。这就涉及了全称量词与存在量词。 　通过已知的数学实例,理解全称量词与存在量词的意义。 1.全称量词与全称量词命题 (1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“∀”表示。 (2)含有全称量词的命题,叫做全称量词命题。 (3)全称量词命题的表述形式:对M中任意一个x,p(x)成立,可简记为∀x∈M,p(x)。 (4)全称量词命题的真假判断:要判定全称量词命题“∀x∈M,p(x)”是真命题,需要对集合M中每个元素x,证明p(x)成立;如果在集合M中找到一个元素x0,使p(x0)不成立,那么这个全称量词命题就是假命题。 2.存在量词与存在量词命题 (1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“∃”表示。 (2)含有存在量词的命题,叫做存在量词命题。 (3)存在量词命题的表述形式:存在M中的元素x,p(x)成立,可简记为∃x∈M,p(x)。 (4)存在量词命题的真假判断:要判定存在量词命题“∃x∈M,p(x)”是真命题,只需在集合M中找到一个元素x,使p(x)成立即可;如果在集合M中,使p(x)成立的元素x不存在,那么这个存在量词命题是假命题。 微思考 1.常见的全称量词、存在量词还有哪些? 提示:常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”“凡是”等。常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某些”“有的”等。 2.全称量词命题中的“x,M与p(x)”表达的含义分别是什么? 提示:元素x可以表示实数、方程、函数、不等式,也可以表示几何图形,相应的集合M是这些元素的某一特定的范围。p(x)表示集合M的所有元素满足的性质。如“任意一个自然数都不小于0”,可以表示为“∀x∈N,x≥0”。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 类型一 全称量词命题与存在量词命题的判断 　　【例1】　判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并用符号“∀”或“∃”表示下列命题。 (1)自然数的平方大于或等于零; (2)存在实数x,满足x2≥2; (3)有些平行四边形的对角线不互相垂直; (4)存在实数a,使函数y=ax+b的值随x的增大而增大。 解　(1)是全称量词命题,表示为∀x∈N,x2≥0。 (2)是存在量词命题,表示为∃x∈R,满足x2≥2。 (3)是存在量词命题,表示为∃四边形∈{平行四边形},但x的对角线不互相垂直。 (4)是存在量词命题,∃a∈R,使函数y=ax+b的值随x的增大而增大。 　　判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的步骤 (1)判断语句是否为命题,若不是命题,就当然不是全称量词命题或存在量词命题。(2)若是命题,再分析命题中所含的量词,含有全称量词的命题是全称量词命题,含有存在量词的命题是存在量词命题。(3)当命题中不含量词时,要注意理解命题含义的实质。 　　【变式训练】　判断下列语句是全称量词命题,还是存在量词命题。 (1)凸多边形的外角和等于360°; (2)矩形都是正方形; (3)有些素数的和仍是素数; (4)若一个四边形是菱形,则这个四边形的对角线互相垂直。 解　(1)可以改写为所有的凸多边形的外角和等于360°,故为全称量词命题。 (2)可以改写为所有矩形都是正方形,故为全称量词命题。 (3)含有存在量词“有些”,故为存在量词命题。 (4)若一个四边形是菱形,也就是所有的菱形,故为全称量词命题。 类型二 全称量词命题与存在量词命题的真假判断 　　【例2】　(1)(多选)下列命题正确的是 (AB) A.存在x<0,x2-2x-3=0 B.对一切实数x<0,都有|x|>x C.∀x∈R,=x D.已知an=2n,bm=3m,对于任意n,m∈N*,an≠bm 解析　因为x2-2x-3=0的根为x=-1或3,所以存在x=-1<0,使x2-2x-3=0,故A为真命题;B显然为真命题;C.=|x|=故C为假命题;D.当n=3,m=2时,a3=b2,故D为假命题。 (2)指出下列命题中,哪些是全称量词命题,哪些是存在量词命题,并判断真假。 ①有的集合中存在两个相同的元素。 ②∀a,b∈R,(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3。 ③存在一个x∈R,使=0。 ④对任意直角三角形的两个锐角A,B,都有sin A=cos B。 解　①是存在量词命题,由集合中元素的互异性可知,此命题是假命题。 ②是全称量词命题,∀a,b∈R,(a+b)(a2-ab+b2)=a3-a2b+ab2+a2b-ab2+b3=a3+b3是真命题