1.4.2 充要条件 微讲小本-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

1.4.2　充要条件 情境导入 课程标准 我们学习了充分条件与必要条件,知道了导致结论成立的条件可能不唯一,同样的条件也可能得出不同的结论,还有条件和结论唯一的结构,在我们生活中,也有很多类似的问题,如开关A闭合与B灯亮的关系,让我们一探究竟吧! 　通过对典型数学命题的梳理,理解充要条件的意义,理解数学定义与充要条件的关系。 1.逆命题 将命题“若p,则q”中的条件p和结论q互换,就得到一个新的命题“若q,则p”,称这个命题为原命题的逆命题。 2.充要条件 如果“若p,则q”和它的逆命题“若q,则p”均是真命题,即既有p⇒q,又有q⇒p,就记作p⇔q。此时,p既是q的充分条件,也是q的必要条件,我们说p是q的充分必要条件,简称为充要条件。显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件。 微思考 1.若p是q的充要条件,则命题p和q是两个相互等价的命题。这种说法对吗? 提示:正确。若p是q的充要条件,则p⇔q,即p等价于q,故此说法正确。 2.“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里? 提示:(1)p是q的充要条件说明p是条件,q是结论。(2)p的充要条件是q说明q是条件,p是结论。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 类型一 充要条件的判断 　　【例1】　在下列各题中,试判断p是q的什么条件。 (1)p:a=b,q:ac=bc; (2)p:a+5是无理数;q:a是无理数; (3)若a,b∈R,p:a2+b2=0,q:a=b=0; (4)p:A∩B=A,q:∁UB⊆∁UA。 解　(1)因为a=b⇒ac=bc,而ac=bc不能推出a=b,所以p是q的充分条件,但不是必要条件。 (2)因为a+5是无理数⇒a是无理数,并且a是无理数⇒a+5是无理数,所以p是q的充要条件。 (3)因为a2+b2=0⇒a=b=0,并且a=b=0⇒a2+b2=0,所以p是q的充要条件。 (4)因为A∩B=A⇒A⊆B⇒∁UA⊇∁UB,并且∁UB⊆∁UA⇒B⊇A⇒A∩B=A,所以p是q的充要条件。 　　(1)判断p是q的充分必要条件,主要是判断p⇒q及q⇒p这两个命题是否成立。若p⇒q成立,则p是q的充分条件,同时q是p的必要条件;若q⇒p成立,则p是q的必要条件,同时q是p的充分条件。(2)在已知充要条件的前提下,充分条件是不确定的,只要保证是充要条件的一个子集即可,而充分不必要条件应为充要条件的一个真子集。 　　【变式训练】　(1)a,b中至少有一个不为零的充要条件是 (D) A.ab=0 B.ab>0 C.a2+b2=0 D.a2+b2>0 解析　a2+b2>0,则a,b不同时为零;a,b中至少有一个不为零,则a2+b2>0。 (2)设集合A={x|2a+1≤x≤3a-5},B={x|3≤x≤22},则A⊆(A∩B)的充要条件为 a≤9 ;一个充分不必要条件可为 6≤a≤9(答案不唯一) 。  解析　A⊆(A∩B)⇔A⊆B,B={x|3≤x≤22}。若A=⌀,则2a+1>3a-5,解得a<6;若A≠⌀,则A⊆B ⇔⇔6≤a≤9。综上可知,A⊆(A∩B)的充要条件为a≤9;一个充分不必要条件可为6≤a≤9。 类型二 充要条件的证明 　　【例2】　证明:一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件是ac<0。 证明　(1)充分性:因为ac<0, 所以Δ=b2-4ac>0,<0。 所以方程ax2+bx+c=0有两个实数根。 设方程ax2+bx+c=0的两个根分别为x1,x2, 则x1x2=<0, 所以一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根。 (2)必要性:因为一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根, 所以Δ=b2-4ac>0,x1x2=<0,所以ac<0。 故一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件是ac<0。 　　充要条件的证明思路 (1)在证明有关充要条件的问题时,通常从“充分性”和“必要性”两个方面来证明。在证明时,要注意:若证明“p的充要条件是q”,那么“充分性”是q⇒p,“必要性”是p⇒q;若证明“p是q的充要条件”,则与之相反。(2)证明充要条件问题,其实质就是证明一个命题的原命题和其逆命题都成立。若不易直接证明,可根据命题之间的关系进行等价转换,然后加以证明。 提醒:证明时一定要注意证明的方向性,分清充分性与必要性的证明方向。 　　【变式训练】　已知a+b≠0,证明:a2+b2-a-b+2ab=0成立的充要条件是a+b=1。 证明　充分性:若a+b=1, 则a2+b2-a-b+2ab=(a+b)2-(a+b)=1-1=0, 即充分性成立。 必要性:若a2+b2-a-b+2ab=0, 则(a+b)2-(a+b)=(a+b)