1.4.1 充分条件与必要条件 微讲小本-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

1.4　充分条件与必要条件 1.4.1　充分条件与必要条件 情境导入 课程标准 　　我国战国时期所著《墨经》中有这样两句话: (1)“有之则必然,无之则未必然”; (2)“无之则必不然,有之则未必然”。 这两句话蕴含什么逻辑关系呢?这就是本节我们所要探讨的内容。 1.理解充分条件的意义,理解判定定理与充分条件的关系。 2.理解必要条件的意义,理解性质定理与必要条件的关系。 1.推出符号“⇒”的含义 (1)一般地,“若p,则q”为真命题,即如果p成立,那么q一定成立,记作“p⇒q”。 (2)如果“若p ,则q”为假命题,即如果p成立,那么q不一定成立,记作“pq”。 2.充分条件与必要条件 一般地,“若p,则q”为真命题,是指由p通过推理可以得出q。这时,我们就说,p是q的充分条件,q是p的必要条件。 如果“若p,则q”为假命题,那么由条件p不能推出结论q,我们就说p不是q的充分条件,q不是p的必要条件。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 微思考 1.p是q的充分条件,是指由条件p可以推出q,那么q成立的充分条件p是不是唯一的? 提示:不是,q成立的条件p可能有多种。 2.q是p的必要条件,是指由p可以推出q,那么条件p是不是只能推出q? 提示:不是,由p也可能推出其他的结论。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 类型一 充分条件的判断 　　【例1】　下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的p是q的充分条件? (1)若a∈Q,则a∈R; (2)若a<b,则<1; (3)若x>1,则x2>1; (4)若(a-2)(a-3)=0,则a=3; (5)在△ABC中,若∠A>∠B,则BC>AC。 解　(1)由于Q⫋R,所以p⇒q, 所以p是q的充分条件。 (2)由于a<b,当b<0时,>1;当b>0时,<1, 因此pq,所以p不是q的充分条件。 (3)由x>1可以推出x2>1。因此p⇒q, 所以p是q的充分条件。 (4)由(a-2)(a-3)=0可以推出a=2或a=3,不一定是a=3, 因此pq,所以p不是q的充分条件。 (5)由三角形中大角对大边可知,若∠A>∠B,则BC>AC。因此p⇒q,所以p是q的充分条件。 　　命题判断方法 如果命题“若p,则q”是真命题,则p是q的充分条件;如果命题“若p,则q”是假命题,则p不是q的充分条件。 　　【变式训练】　下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的p是q的充分条件? (1)若平面内点P在线段AB的垂直平分线上,则PA=PB; (2)若两个三角形的两边及一边所对的角分别相等,则这两个三角形全等; (3)若两个三角形相似,则这两个三角形的面积比等于周长比的平方。 解　(1)线段垂直平分线的性质,p⇒q,p是q的充分条件; (2)三角形的两边及一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等,pq,p不是q的充分条件; (3)相似三角形的性质,p⇒q,p是q的充分条件。 类型二 必要条件的判断 　　【例2】　下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的q是p的必要条件? (1)若一个四边形是等腰梯形,则这个四边形的两条对角线相等。 (2)若△ABC是直角三角形,则△ABC是等腰三角形。 (3)若=,则x=y。 (4)若关于x的方程ax+b=0(a,b∈R)有唯一解,则a>0。 解　(1)等腰梯形的两条对角线相等。因此p⇒q,所以q是p的必要条件。 (2)直角三角形不一定是等腰三角形。因此pq,所以q不是p的必要条件。 (3)若=,则x=y是真命题,因此p⇒q,所以q是p的必要条件。 (4)命题“若关于x的方程ax+b=0(a,b∈R)有唯一解,则a>0”为假命题,因此pq,所以q不是p的必要条件。 　　一般地,定义法主要用于较简单的命题判断,集合法一般需对命题进行化简,等价法主要用于否定性命题。要判断p是不是q的充分条件,就要看p能否推出q,要判断p是不是q的必要条件,就要看q能否推出p。 　　【变式训练】　指出下列哪些命题中p是q的必要条件? (1)在△ABC中,p:AC>AB,q:∠B>∠C; (2)已知x,y∈R,p:(x-1)(x-2)=0,q:x=1。 解　(1)在△ABC中,由大角对大边知,∠B>∠C⇒AC>AB,所以p是q的必要条件。 (2)由x=1⇒(x-1)(x-2)=0,所以p是q的必要条件。 类型三 根据充分条件(必要条件)求参数的取值范围 　　【例3】　在①{x|a-1≤x≤a},②{x|a≤x≤a+2},③{x|≤x≤+3}这三个条件中任选一个,补充在下面问题中:若问题中的a存在,求a的值;若a不存在,请说明理由。 已知集合A=　　　　,B={x|1≤x≤3}。若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,求实数a的取值范围。  解　由题