1.3 第2课时 补集及综合应用 微讲小本-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

第2课时　补集及综合应用 情境导入 课程标准 某人请客,6位客人到了4位,主人焦急地说:“该来的不来。”顿时气走了2位,主人遗憾地叹息:“不该走的又走了。”又气走一位,主人更遗憾了,自言自语地说:“我又不是说他。”这么一来,剩下的这位脸皮再厚,也待不下去了。在这个故事中,客人们不自觉地使用了一个数学概念——补集。 1.在具体情境中,了解全集与补集的含义。 2.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,能求给定子集的补集。 1.全集 定义:一般地,如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集。 记法:全集通常记作U。 2.补集 自然语言 对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,记作∁UA 集合语言 ∁UA={x|x∈U,且x∉A} 图形语言 性质 ①A∪(∁UA)=U,A∩(∁UA)=⌀; ②∁UU=⌀,∁U⌀=U 微提醒 　∁UA的三层含义: (1)∁UA表示一个集合。 (2)A是U的子集,即A⊆U。 (3)∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合。 微思考 1.在集合运算问题中,全集一定是实数集吗? 提示:全集是一个相对性的概念,只包含研究问题中涉及的所有的元素,所以全集因问题的不同而异。 2.如何理解全集的相对性? 提示:全集具有相对性,是相对于我们研究的问题而言的一个概念。如小学数学研究的问题常在有理数集内,则有理数集是全集,初中代数研究的问题常在实数集内,则实数集就是全集。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 类型一 补集的运算 　　【例1】　(1)已知全集U={-5,-4,-3,3,4,5}。 若集合A={-3,5},则∁UA= {-5,-4,3,4} ;  若∁UB={-5,5},则集合B= {-4,-3,3,4} 。  (2)已知集合A={x|-1<x≤2}。 ①若全集U=R,则∁UA= {x|x≤-1,或x>2} 。  ②若全集U={x|x≤4,x∈R},则∁UA= {x|x≤-1,或2<x≤4} 。  解析　①U=R,A={x|-1<x≤2},所以∁UA={x|x≤-1,或x>2},如图阴影部分。 ②U={x|x≤4,x∈R},A={x|-1<x≤2}。 所以∁UA={x|x≤-1,或2<x≤4},如图阴影部分。 　　求补集的基本方法及处理技巧 (1)基本方法:定义法。(2)两种处理技巧:①当集合用列举法表示时,可借助Venn图求解。②当集合是用描述法表示的连续数集时,可借助数轴,利用数轴分析求解。 　　【变式训练】　(1) (2022·全国乙卷)设全集U={1,2,3,4,5},集合M满足∁UM={1,3},则 (　A　) A.2∈M　B.3∈M　C.4∉M　D.5∉M 　解析　由题意知M={2,4,5},故选A。 (2)已知全集U={x|1≤x≤5},A={x|1≤x<a},若∁UA={x|2≤x≤5},则a= 2 。  解析　因为A∪(∁UA)=U,且A∩(∁UA)=⌀,所以A={x|1≤x<2},所以a=2。 类型二 并集、交集、补集的混合运算 　　命题方向1:借助Venn图进行运算 　　【例2】　(1)图中阴影部分表示的集合是 (D) A.A∩(∁UB) B.(∁UA)∩B C.∁U(A∩B) D.∁U(A∪B) 解析　图中白色部分对应的集合为A∪B,阴影部分为剩余部分,根据集合的基本运算即可知阴影部分对应的集合为∁U(A∪B)。故选D。 (2)设A,B都是由不超过9的正整数组成的全集U的子集,且A∩B={2},(∁UA)∩(∁UB)={1,9},(∁UA)∩B={4,6,8},求集合A和B。 解　U={1,2,3,4,5,6,7,8,9},在图中(如图)将1,2,3,4,5,6,7,8,9分别填入到相应的位置中去, 则由A∩B={2}, ∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB)={1,9}, (∁UA)∩B={4,6,8},得A∩(∁UB)={3,5,7}。 可知A={2,3,5,7},B={2,4,6,8}。 　　从Venn图的角度讲,A与∁UA就是圈内和圈外的问题,由于(∁UA)∩A=⌀,(∁UA)∪A=U,所以可以借助圈内推知圈外,也可以反推。 　　【变式训练】　(1)设集合U={1,2,3,4,5},A={2,4},B={1,2,3},则图中阴影部分表示的集合是 (A) A.{4} B.{2,4} C.{4,5} D.{1,3,4} 解析　图中阴影部分表示的集合在集合A中但不含集合B中的元素,故图中阴影部分表示的集合是A∩(∁UB)。因为U={1,2,3,4,5},B={1,2,3},所以∁UB={4,5}。因为A={2,4},所以A∩(∁UB)={4}。故选A。 (2)已知全集U,