1.2 集合间的基本关系 微讲小本-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

1.2　集合间的基本关系 情境导入 课程标准 　　星座,是指天上一群在天球上投影的位置相近的恒星的组合。设小熊座中的星星构成集合A,所有恒星构成集合B,那么集合A与集合B有什么关系呢?这就是本节课我们所要学习的集合间的关系。 1.理解集合之间包含与相等的含义。 2.能识别给定集合的子集。 3.在具体情境中,了解空集的含义。 4.能使用Venn图表达集合的基本关系,体会图形对理解抽象概念的作用。 1.子集的相关概念 (1)子集、真子集、集合相等概念。 ①子集的概念。 文字 语言 一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素,都是集合B中的元素,就称集合A为集合B的子集 符号 语言 A⊆B(或B⊇A) 图形 语言 Venn图:我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为Venn图。 ②集合相等。 一般地,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素,那么集合A与集合B相等,记作A=B,也就是说,若A⊆B,且B⊆A,则A=B。 ③真子集的概念。 如果集合A⊆B,但存在元素x∈B,且x∉A,就称集合A是集合B的真子集,记作A⫋B(或B⫌A)。 (2)空集。 一般地,我们把不含任何元素的集合叫做空集,记作⌀。规定:空集是任何集合的子集。 2.集合间关系的性质 (1)任何一个集合都是它本身的子集,即A⊆A。 (2)对于集合A,B,C: ①若A⊆B,且B⊆C,则A⊆C; ②若A⫋B,B⫋C,则A⫋C; ③若A⊆B,A≠B,则A⫋B。 微提醒 真子集概念的理解:在真子集的定义中,A,B首先要满足A⊆B,其次至少有一个x∈B,但x∉A。 微思考 1.A⊆B能否理解为集合A是B中的“部分元素”所组成的集合? 提示:A⊆B不能理解为集合A是B中的“部分元素”所组成的集合。因为若A=⌀,则A中不包含任何元素;若A=B,则A中含有B中的所有元素,而这两种情况均可以说集合A是集合B的子集。 2.符号“∈”与“⊆”的区别是什么? 提示:符号“∈”用于表示元素与集合之间的关系,而符号“⊆”用于表示集合与集合之间的关系。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 类型一 集合的子集问题 　　【例1】　(1)集合M={1,2,3}的真子集个数是 (B) A.6 B.7 C.8 D.9 解析　根据题意,M的真子集为⌀,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3}共7个。 (2)满足{1,2}⫋M⊆{1,2,3,4,5}的集合M有 7 个。  解析　根据题意,M为{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5}共7个。 　　求元素个数有限的集合的子集的两个关注点 (1)要注意两个特殊的子集:⌀和自身。(2)按集合中含有元素的个数由少到多,分类一一写出,保证不重不漏。 　　【变式训练】　(1)集合{(1,2),(3,4)}的子集个数为 (B) A.3 B.4 C.15 D.16 解析　集合{(1,2),(3,4)}的子集为⌀,{(1,2)},{(3,4)},{(1,2),(3,4)},共4个。 (2)符合条件{a}⫋P⊆{a,b,c}的集合P的个数是 (B) A.2 B.3 C.4 D.5 解析　满足条件的集合P可以是{a,b},{a,c},{a,b,c},共3个。 类型二 集合间关系的判断 　　【例2】　(1)判断下列关系是否正确。 ①{1,2}⫋{1,2,3};②{1,2,3}⊆{1,2,4};③{a}⊆{a};④⌀={0}。 解　①集合{1,2}中的元素1,2都是集合{1,2,3}中的元素,而集合{1,2,3}中的元素3不是集合{1,2}中的元素,故{1,2}⫋{1,2,3}正确。 ②因为3∉{1,2,4},所以{1,2,3}⊆{1,2,4}错误。 ③任何一个集合是它本身的子集,因此{a}⊆{a}正确。 ④⌀中没有任何元素,而{0}中有一个元素,两者不相等,故⌀={0}错误。 (2)已知集合M=,N=,P=xx=+,p∈Z。试确定M,N,P之间的关系。 解　集合M=。 关于集合N: ①当n是偶数时,令n=2m(m∈Z), 则N=; ②当n是奇数时,令n=2m+1(m∈Z), 则N==。 从而,得M⫋N。 关于集合P:①当p为偶数时,令p=2m(m∈Z)时, P=; ②当p为奇数时,令p=2m-1(m∈Z), P==。 从而,得N=P。综上,知M⫋N=P。 　　判断集合关系的方法 (1)观察法:一一列举观察。(2)元素特征法:首先确定集合的元素是什么,弄清集合元素的特征,再利用集合元素的特征判断关系。(3)数形结合法:利用数轴或Venn图 　　【变式训练】　(1)能正确表示集合M={x∈