1.1 集合的概念2课时 微讲小本-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

第2课时　集合的表示 情境导入 课程标准 　　上节课我们学习了集合的概念,还有一些特殊的集合,比如非负整数集、正整数集等,我们发现可以用自然语言描述一个集合,而语言正是我们之间相互联系的一种方式,同样的祝福又有着不同的表示方式,例如,我们用中文说“祝你生日快乐”,英文为“happy birthday to you”等等。 1.掌握集合的表示方法——列举法和描述法,培养数学抽象素养。 2.能进行自然语言与集合语言间的相互转换。 1.列举法 把集合的所有元素一一列举出来,并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法。 2.描述法 (1)设A是一个集合,把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}。 (2)具体步骤: ①在花括号内写上表示这个集合的元素的一般符号及取值(或变化)范围。 ②画一条竖线。 ③在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。 微思考 1.一一列举集合中的元素时,需要考虑元素的顺序吗? 提示:用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序。例如:{a,b}与{b,a}表示同一个集合。 2.{(x,y)|y=x2+2}能否写为{x|y=x2+2}或{y|y=x2+2}呢? 提示:不能,(x,y)表示集合的元素是有序实数对或点,而x或y则表示集合的元素是数,所以用描述法表示集合时一定要弄清集合的元素是什么。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 类型一 用列举法表示集合 　　【例1】　用列举法表示下列集合; (1)小于10的所有正整数组成的集合; (2)方程x2+x=0的所有实数根组成的集合; (3)直线y=2x+1与y轴的交点所组成的集合。 解　(1)设小于10的所有正整数组成的集合为A,那么A={1,2,3,4,5,6,7,8,9}。 (2)设方程x2+x=0的所有实数根组成的集合为B,那么B={-1,0}。 (3)将x=0代入y=2x+1,得y=1,即交点是(0,1),故交点组成的集合是{(0,1)}。 　　用列举法表示集合的3个步骤 (1)求出集合的元素;(2)把元素一一列举出来,且 同元素只能列举一次;(3)用花括号括起来。 提醒:二元方程组解集,函数图象上的点构成的集合都是点的集合,一定要写成实数对的形式,元素与元素之间用“,”隔开。如{(2,3),(5,-1)}。 　　【变式训练】　用列举法表示下列给定的集合: (1)不大于10的非负偶数组成的集合A; (2)小于8的质数组成的集合B; (3)方程2x2-x-3=0的实数根组成的集合C; (4)一次函数y=x+3与y=-2x+6的图象的交点组成的集合D。 解　(1)不大于10的非负偶数有0,2,4,6,8,10,所以A={0,2,4,6,8,10}。 (2)小于8的质数有2,3,5,7,所以B={2,3,5,7}。 (3)方程2x2-x-3=0的实数根为-1,,所以C=。 (4)由得所以一次函数y=x+3与y=-2x+6的交点为(1,4),所以D={(1,4)}。 类型二 用描述法表示集合 　　【例2】　用描述法表示下列集合: (1)不等式3x-8≥7-2x的解集; (2); (3)二次函数y=x2+2x-10的图象上所有的点组成的集合。 解　(1)由3x-8≥7-2x,可得x≥3,所以不等式3x-8≥7-2x的解集为{x|x≥3}。 (2)。 (3)二次函数y=x2+2x-10的图象上所有的点组成的集合,可表示为{(x,y)|y=x2+2x-10}。 　　描述法表示集合的步骤 (1)确定集合中元素的特征;(2)给出其满足的性质;(3)根据描述法的形式写出其满足的集合。 　　【变式训练】　(1)用描述法表示下列集合: ①; ②被5除余1的正整数组成的集合; ③坐标平面内坐标轴上的点集。 解　①集合,,,…用描述法表示为。 ②根据被除数=商×除数+余数,故此集合可表示为{x|x=5n+1,n∈N}。 ③注意到坐标轴上点的横坐标或纵坐标至少有一个为0,故可表示为{(x,y)|xy=0,x∈R,y∈R}。 (2)方程组的解集用描述法怎样表示? 解　{(x,y)|x-y=2,2x+y=1}或{(x,y)|x=1,y=-1}。 类型三 集合表示方法的应用 　　【例3】　若集合A={x|kx2-8x+16=0}只有一个元素,试求实数k的值,并用列举法表示集合A。 解　当k=0时,原方程变为-8x+16=0,x=2。 此时集合A={2}。 当k≠0时,要使关于x的一元二次方程kx2-8x+16=0有两个相等实根,只需Δ=64-64k=0,即k=1。 此时方程的解为x1=x2=4,集合A={4},满足题意。 综上所述,实数k的值为0或1。 当k=0时,A={2};当k=1时,A={4}。 　　(1)解答与描述法有关的问题时