1.1 集合的概念1课时 微讲小本-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

第一章　集合与常用逻辑用语 1.1　集合的概念 第1课时　集合的概念 情境导入 课程标准 　　在生活与学习中,为了方便,我们要经常对事物进行分类。例如图书馆中的书是按照所属学科等分类摆放的;三角形可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。学习了集合、元素等概念,我们就会对事物的分类有了更清晰的认识。 1.通过实例,了解集合的含义,理解元素与集合的属于关系。 2.针对具体问题,能在自然语言和图形语言的基础上,用符号语言刻画集合。 1.元素与集合的概念 (1)一般地,我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)。 (2)集合中元素的特性:确定性、互异性、无序性。 (3)只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合是相等的。 2.元素与集合的关系 知识点 关系 概念 记法 读法 元素与 集合的 关系 属于 如果a是集合A中的元素,就说a属于集合A a∈A a属于 集合A 不属于 如果a不是集合A中的元素,就说a不属于集合A a∉A a不属于 集合A 3.常用数集及表示符号 名称 非负整数集 (自然数集) 正整 数集 整数集 有理 数集 实数集 记法 N N*或N+ Z Q R 微提醒 1.集合中的元素,必须具备确定性、互异性、无序性。反过来,一组对象若不具备这三个特性,则这组对象也就不能构成集合。 2.对任何元素a与集合A,a∈A与a∉A这两种情况有且仅有一种成立。符号“∈”“∉”仅表示元素与集合之间的关系,不能用来表示集合与集合之间的关系。 微思考 1.某班所有的“帅哥”能否构成一个集合?某班身高高于175厘米的男生能否构成一个集合? 提示:某班所有的“帅哥”标准不确定,所以不能构成集合;高于175厘米的男生标准是确定的,所以能构成集合。 2.N,N*和N+有什么区别? 提示:N+与N*的含义相同,都是指所有正整数组成的集合,而N是由0和所有的正整数组成的集合,所以N比N+(或N*)多一个元素0。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 类型一 集合的概念 　　【例1】　(1)(多选)下列每组对象,能构成集合的是 (BCD) A.中国各地的美丽乡村 B.直角坐标系中横、纵坐标相等的点 C.大于3小于10的所有整数 D.截至2022年1月,获得国家最高科学技术奖的科学工作者 解析　A中“美丽”标准不明确,不符合确定性,B,C,D中的元素标准明确,均可构成集合。 (2)下列各组中,集合P与Q表示同一个集合的是 (A) A.P是由元素1,,π构成的集合,Q是由元素π,1,|-|构成的集合 B.P是由π构成的集合,Q是由3.141 59构成的集合 C.P是由2,3构成的集合,Q是由有序数对(2,3)构成的集合 D.P是满足不等式-1≤x≤1的自然数构成的集合,Q是方程x2=1的解集 解析　由于A中P,Q的元素完全相同,所以P与Q表示同一个集合,而B,C,D中P,Q的元素不相同,所以P与Q不能表示同一个集合。 　　一组对象能否构成集合的判断方法 判断指定的一组对象能否构成集合,关键是看这组对象是否满足集合中元素的“确定性”,即能否找到一个明确的标准,使得对于任何一个对象,都能确定它是不是给定集合的元素。 　　【变式训练】　(多选)现有以下说法,其中正确的是 (BD) A.接近于0的数的全体构成一个集合 B.正方体的全体构成一个集合 C.未来世界的高科技产品构成一个集合 D.不大于3的所有自然数构成一个集合 解析　AC不符合集合中元素的确定性,BD具有确定性。 　　【例2】　(1)(多选)下列所给关系正确的是 (ABC) A.π∈R B.∉Q C.0∈Z D.|-1|∉N* 解析　根据各个数集的含义可知,ABC正确,D不正确。 (2)我们在初中学习过一元二次方程及其解法。设A是方程x2-ax-5=0的解组成的集合。 ①0是否是集合A中的元素? ②若-5∈A,求实数a的值; ③若1∉A,求实数a的取值范围。 解　①将x=0代入方程,02-a×0-5=-5≠0,所以0不是集合A中的元素。 ②若-5∈A,则有(-5)2-(-5)a-5=0,解得a=-4。 ③若1∉A,则12-a×1-5≠0,解得a≠-4。 　　判断元素与集合的关系的两种方法 (1)直接法:如果元素是直接给出的,那么只要判断该元素在已知集合中是否出现即可,此时应明确集合是由哪些元素构成的。(2)推理法:对于一些元素没有直接给出的集合,只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可,此时应明确已知集合中的元素具有什么特征。 　　【变式训练】　(1)给出下列关系式:∈R;0.3∈Q;∈N;-5∈Z。其中正确的个数是 (C) A.1 B.2 C.3 D.4 解析　由各个数集的含义可知,∈