专题08 基本不等式Ⅱ-基本不等式中的最值和恒成立问题-【高中第一步】2023年暑假初升高数学完美衔接精品课（人教A版2019）

【高中第一步】2023年暑假初升高完美衔接精品课（人教A版2019） 专题08 基本不等式Ⅱ-基本不等式中的最值和恒成立问题 考点目录 考点一 常规凑配法求最值 考点二 消参法求最值 考点三 “1”的代换求最值 考点四 其他类型变换求最值 考点五 恒成立问题 1.掌握用基本不等式求式子的最值和恒成立问题的解题思路 一、常见求最值模型 模型一：，当且仅当时等号成立； 模型二：，当且仅当时等号成立； 模型三：，当且仅当时等号成立； 模型四：，当且仅当时等号成立. 二、恒成立问题 一般地，对含参的不等式求范围问题通常采用分离变量转化为恒成立问题，对于“恒成立”的不等式，一般的解题方法是先分离然后求函数的最值．另外，要记住几个常见的有关不等式的等价命题： (1)a＞f(x)恒成立⇔a＞f(x)max； (2)a＜f(x)恒成立⇔a＜f(x)min； (3)a＞f(x)有解⇔a＞f(x)min； (4)a＜f(x)有解⇔a＜f(x)max. 考点一：常规凑配法求最值 例1：已知（），则的最大值是________. 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时等号成立，故的最大值是.故答案为： 考点二：消参法求最值 例2：已知，若，则的最小值为______ 【详解】因为，且，所以， 则，当且仅当，即时等号成立， 则的最小值为8．故答案为: 考点三：“1”的代换求最值 例3：已知正实数a，b满足，使得取最小值时，实数a，b的值为__________ 【详解】, 当且仅当，即时等号成立.故答案为：. 考点四：其他类型变换求最值 例4：已知，，若，则的最小值为______. 【详解】因为，，，所以，即； 因为，当且仅当时取到等号，所以， 解得或（舍） 所以当时，有最小值3.故答案为：3 考点五：恒成立问题 例5：已知，，若恒成立，则实数的取值范围是_____. 【详解】，， ，当且仅当，即时等号成立， ，解得.故答案为：. 考点一：常规凑配法求最值 一、单选题 1．（2023秋·甘肃天水·高一统考期末）已知正数，满足，则的最大值为（    ） A．2 B．1 C． D． 2．（2023·高一课时练习）若，则的最值情况是（    ） A．有最大值 B．有最小值6 C．有最大值 D．有最小值2 3．（2023·全国·高一专题练习）已知实数x满足，则的最大值为（    ） A． B．0 C．4 D．8 二、填空题 4．（2023秋·陕西西安·高一西北工业大学附属中学校考阶段练习）已知0<x<1，则x(4－3x)取得最大值时x的值为________. 5．（2023秋·湖南张家界·高一统考期末）已知，则的最小值为__________． 考点二：消参法求最值 一、单选题 1．（2023春·江苏南京·高一南京市第二十九中学校考期中）实数满足，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2023春·新疆省直辖县级单位·高一校联考阶段练习）设，，则的最小值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 3．（2023秋·江西吉安·高一永丰县永丰中学校考期末）设，，，则（    ） A．有最大值8 B．有最小值6 C．ab有最大值16 D．ab有最小值12 二、填空题 4．（2023·全国·高一专题练习）若，且，则的最小值为______. 5．（2023·高一课时练习）已知正实数x，y满足，则的最大值是______. 6．（2023秋·广东深圳·高一统考期末）已知，且，则的最小值为__________. 考点三：“1”的代换求最值 一、单选题 1．（2023·全国·高一专题练习）已知正实数a，b满足，则的最小值为（    ） A．8 B．16 C．12 D．24 2．（2023春·河南新乡·高一统考期中）已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A．3 B．1 C．9 D． 3．（2023春·四川南充·高一四川省南充市白塔中学校考期中）已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（2023·全国·高一专题练习）已知，，且，那么的最小值为（    ） A． B．2 C． D．4 5．（2023·全国·高一专题练习）若，，且，的最小值为（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 6．（2023·全国·高一专题练习）已知正实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D．1 二、多选题 7．（2023秋·安徽黄山·高一统考期末）已知、，，则下列说法正确的是（    ） A．， B．的最小值为8 C．的最小值为3 D．的最小值为4 8．（2023春·广东汕头·高一校考阶段练习）设正实数a，b满足，则（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为2 D．的最小值为8 三、