第07讲 空间向量的数量积运算9种常见考法归类-【暑假自学课】2023年新高二数学暑假精品课（人教A版2019选择性必修第一册）

第07讲 空间向量的数量积运算9种常见考法归类 掌握空间向量的数量积，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直. 知识点1 空间向量的夹角 定义 如图，已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉 范围 0≤〈a，b〉≤π 向量垂直 如果〈a，b〉＝，那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b 知识点2 空间向量的数量积运算 1．(1)空间向量的数量积 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉．零向量与任意向量的数量积为0，即0·a＝0. (2)运算律 数乘向量与数量积的结合律 (λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R 交换律 a·b＝b·a 分配律 a·(b＋c)＝a·b＋a·c 2.投影向量及直线与平面所成的角 (1)如图①，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图②)． (2)如图③，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量，向量称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角． 注意点： (1)向量a，b的数量积记为a·b，而不能表示为a×b或者ab. (2)向量的数量积的结果为实数，而不是向量，它可以是正数、负数或零，其符号由夹角θ的范围决定． ①当θ为锐角时，a·b>0；但当a·b>0时，θ不一定为锐角，因为θ也可能为0. ②当θ为钝角时，a·b<0；但当a·b<0时，θ不一定为钝角，因为θ也可能为π. (3)空间向量的数量积运算不满足消去律和结合律． 知识点3 空间向量数量积的性质 设，是非零向量，是单位向量，则 ①； ②； ③或； ④； ⑤(当且仅当共线时等号成立) 1、求空间向量数量积的步骤 (1)将待求数量积的两向量的模长及它们的夹角理清； (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角余弦值的乘积； (3)代入a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解．　　　　 注：在几何体中求空间向量的数量积，首先要充分利用向量所在的图形，将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式;其次利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积;最后利用数量积的定义求解即可.注意挖掘几何体中的垂直关系或特殊角. 2、求两个向量的夹角有两种方法： ①结合图形，平移向量，利用空间向量夹角的定义来求，但要注意向量夹角的范围； ②先求a·b，再利用公式cos〈a，b〉＝求出cos〈a，b〉的值，最后确定〈a，b〉的值． 3、利用数量积求夹角或其余弦值的步骤 注：求两向量夹角，必须特别关注两向量方向，应用向量夹角定义确定夹角是锐角、直角还是钝角． 4、利用空间向量解决垂直问题的方法 (1)证明线线垂直的方法：证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量，看方向向量的数量积是否为0来判断两直线是否垂直． (2)证明与空间向量a，b，c有关的向量m，n垂直的方法：先用向量a，b，c表示向量m，n，再求解向量m，n的数量积并判断是否为0.　　 5、求两点间的距离或线段长的方法 （1） 将相应线段用向量表示，通过向量运算来求对应向量的模． （2） 用其他已知夹角和模的向量表示该向量； （3） 因为a·a＝|a|2，所以|a|＝，这是利用向量解决距离问题的基本公式．另外，该公式还可以推广为|a±b|＝， . （4）可用|a·e|＝|a||cosθ|(e为单位向量，θ为a，e的夹角)来求一个向量在另一个向量所在直线上的投影． 考点一：空间向量数量积的概念辨析 （1） 空间向量的夹角 例1．（2023春·高二课时练习）如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，求向量分别与向量，，，，的夹角． 变式1．（2023春·高二课时练习）在正四面体ABCD中，与的夹角等于（    ） A．30° B．60° C．150° D．120° 变式2．（2022·高二课时练习）如图，在长方体中： (1)哪些棱所在直线与直线互为异面直线且互相垂直？ (2)若，分别求向量与，，的夹角. （2） 空间向量的运算律 例2．【多选】（2023春·高二课时练习）设，为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（    ） A． B． C． D． 变式1．（2023春·高二课时练习）对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（    ） A．若且，则 B． C．若，且，则 D． 变式2．（2022秋