第06讲 空间向量及其线性运算4种常见考法归类-【暑假自学课】2023年新高二数学暑假精品课（人教A版2019选择性必修第一册）

第06讲 空间向量及其线性运算4种常见考法归类 1．理解空间向量的相关概念的基础上进行与向量的加、减运算、数量积的运算、夹角的相关运算及空间距离的求解. 2．利用空间向量的相关定理及推论进行空间向量共线、共面的判断. 知识点1 空间向量的有关概念 1．在空间，把具有方向和大小的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模． 注：数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量。 2. 表示法： （1）几何表示法：空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模 （2）字母表示法：用字母表示，若向量a的起点是A，终点是B，则a也可记作，其模记为|a|或||. 3．几类特殊的空间向量 名称 定义 表示法 零向量 规定长度为0的向量叫做零向量 记为0 单位向量 模为1的向量叫做单位向量 |a|＝1或||＝1 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，叫做a的相反向量 记为－a 共线向量 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a a∥b或∥ 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量 a＝b或 ＝ 注意点： (1)平面向量是一种特殊的空间向量． (2)两个向量相等的充要条件为长度相等，方向相同． (3)向量不能比较大小． (4)共线向量不一定具备传递性，比如0． 易错辨析： （1）空间向量就是空间中的一条有向线段？答：有向线段是空间向量的一种表示形式，但不能把二者完全等同起来． （2）单位向量都相等？答：单位向量长度相等，方向不确定 （3）共线的单位向量都相等? 答：共线的单位向量是相等向量或相反向量 （4）若将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个圆？答：将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个球 （5）任一向量与它的相反向量不相等？答：零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的． （6）若|a|＝|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反？答：|a|＝|b|只能说明a，b的长度相等而方向不确定 （7）若向量，满足||>||，则>？答：向量不能比较大小 （8）空间中，a∥b，b∥c，则a∥c？答：平行向量不一定具有传递性，当b＝0时，a与c不一定平行 （9）若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p？答：向量的相等满足传递性 （10）若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同？答：当两个空间向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等；但当两个向量相等时，不一定起点相同，终点也相同 知识点2 空间向量的线性运算 （一）空间向量的加减运算 加法运算 三角形 法则 语言叙述 首尾顺次相接，首指向尾为和 图形叙述 平行四边形法则 语言叙述 共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和 图形叙述 减法运算 三角形 法则 语言叙述 共起点，连终点，方向指向被减向量 图形叙述 加法运算 交换律 a＋b＝b＋a 结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 注意点： （1）空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则．而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并； （2）求向量和时，可以首尾相接，也可共起点；求向量差时，可以共起点． （3）空间向量加法的运算的小技巧： ①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量， 即： 因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量； ②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量， 即：； （二）空间向量的数乘运算 定义 与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为空间向量的数乘 几何意义 λ>0 λa与向量a的方向相同 λa的长度是a的长度的|λ|倍 λ<0 λa与向量a的方向相反 λ＝0 λa＝0，其方向是任意的 运算律 结合律 λ(μa)＝(λμ)a 分配律 (λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb 注意点： (1)当λ＝0或a＝0时，λa＝0． (2)λ的正负影响着向量λa的方向，λ的绝对值的大小影响着λa的长度． (3)向量λa与向量a一定是共线向量．非零向量a与λa(λ≠0)的方向要么相同，要么相反． (4)由于向量a，b可平移到同一个平面内，而平面向量满足数乘运算的分配律，所以空间向量