精品解析：安徽省合肥市第七中学2022-2023学年高一下学期第二次单元检测（月考）数学试题

合肥七中高一（下）第二次单元检测数学试卷 总分：150分 考试时间：120分钟 命题人：王瑞 审题人：高玉敏 马萧萧 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 下列命题中成立的是（ ） A. 有两个相邻侧面是矩形的棱柱是直棱柱 B. 各个面都是三角形的多面体一定是棱锥 C. 一个棱锥的侧面是全等的等腰三角形，那它一定是正棱锥 D. 各个侧面都是矩形的棱柱是长方体 2 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 《九章算术》是中国古代人民智慧的结晶，其卷五“商功”中有如下描述：“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈”，译文为“有一个圆台形状的建筑物，下底面周长为三丈，上底面周长为二丈，高为一丈”，则该圆台的侧面积（单位：平方丈）为（ ） A B. C. D. 4. 在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，DE交AF于H，记，分别为，，则=（ ） A. B. C. D. 5. 在中，已知，那么一定（ ） A 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 6. 一个正四棱锥的平面展开图如图所示，其中E，F，M，N，Q分别为，，，，的中点，关于该正四棱锥，现有下列四个结论： ①直线与直线是异面直线；②直线与直线是异面直线； ③直线与直线MN共面；④直线与直线是异面直线. 其中正确结论的个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 7. 鄂州十景之一“二宝塔”中的文星塔位于文星路与南浦路交汇处，至今四百六十多年的历史，该塔为八角五层楼阁式砖木混合结构塔.现在在塔底共线三点、、处分别测塔顶的仰角为、、，且米，则文星塔高为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 8. 刘徽构造的几何模型“牟合方盖”中说：“取立方棋八枚，皆令立方一寸，积之为立方二寸．规之为圆，径二寸，高二寸，又复横规之，则其形有似牟合方盖矣．”牟合方盖是一个正方体被两个圆柱从纵横两侧面作内切圆柱体时的两圆柱体的公共部分，计算其体积的方法是将原来的“牟合方盖”平均分为八份，取它的八分之一（如图一）．记正方形OABC的边长为r，设，过P点作平面PQRS平行于平面OABC．，由勾股定理有，故此正方形PQRS面积是．如果将图一的几何体放在棱长为r的正方体内（如图二），不难证明图二中与图一等高处阴影部分的面积等于．（如图三）设此棱锥顶点到平行于底面的截面的高度为h，不难发现对于任何高度h，此截面面积必为，根据祖暅原理计算牟合方盖体积（ ） 注：祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”、意思是两个同高的立体图形，如在等高处的截面积相等，则体积相等． A. B. C. D. 二、多选题（每小题5分，共20分.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 已知平面向量，，则下列说法正确是（ ） A. B. C. D. 向量在上的投影向量为 10. 设是不同的直线，是不同的平面，则下列命题不正确的是（ ） A. ，则 B. ，则 C. ，则 D. ，则 11. 已知是边长为1的等边三角形，点D是边AC上，且，点E是BC边上任意一点（包含B，C点），则的取值可能是（ ） A. B. C. 0 D. 12. 已知直三棱柱中，，，是的中点，为的中点.点是上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 当点运动到中点时，直线与平面所成的角的正切值为 B. 无论点在上怎么运动，都有 C. 当点运动到中点时，才有与相交于一点，记为，且 D. 当点在上运动时，直线与所成角可以是 三、填空题（每小题5分，共20分） 13. 如图，是斜二测画法画出的水平放置的的直观图，是的中点，且轴，轴，，，则的面积是________． 14. 在正方体中，点，分别在棱，上，且，则异面直线与所成角的余弦值为______． 15. 如图1，一个正三棱柱容器，底面边长为1，高为2，内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图2，这是水面恰好是中截面，则图1中容器水面的高度是______． 16. 已知是边长为2的等边三角形，，当三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为__________． 四、解答题（共70分，第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知复数是方程的一个复数根，且的虚部大于零． （1）求； （2）若（，，为虚数单位），求． 18. 已知，向量，. （1）如图，若四边形OACB为平行四边形，求点C的坐标； （2）若点P为线段AB的靠近点B的三等分点，求点P的坐标. 19. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 （1）求角A的大小； （2）若，点G是的重心，且，求