1.1 探索勾股定理(第2课时) 学案 2023-2024学年北师大版八年级数学上册

1　探索勾股定理(第2课时) 学习目标 1.能熟练应用拼图即求面积的方法证明勾股定理.(重点) 2.熟练应用勾股定理解决一些简单问题.(难点) 自主学习 学习任务一　勾股定理的证明 活动1：做一做 　　　　　　 图1 图2 (1)如图1，将所有的三角形和正方形的面积用a，b，c表示出来　　　　　　　　　　　. (2)图2中正方形ABCD的面积分别是　　　　　　　　　　　　. 活动2：议一议 观察图3，利用数格子的方法判断图中三角形的三边长是否满足a2+b2＝c2. 　　　　 图3　　　　　　　　　　　　　　 图4 学习任务二　验证勾股定理 拼图验证.准备四个全等的直角三角形拼出正方形. 1.图4①中，大正方形的面积可以表示为　　 　　，又可以表示为　 　　　，由此可得　　 　　. 2.图4②中，大正方形的面积可以表示为　 　　　，又可以表示为　　　 　，由此可得　　　 　. 合作探索 例1　作8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，再作三个边长分别为a，b，c的正方形，将它们如图5①②所示拼成两个正方形. 证明：a2+b2＝c2. 　　　　 1 　　　 　　　　 ② 图5 例2　如图6是某沿江地区交通平面图，为了加快经济发展，该地区拟修建一条连接M，O，Q三城市的沿江高速公路，已知沿江高速公路的建设成本为5 000万元/ km，该沿江高速公路的造价预计是多少？ 图6 当堂达标 1.若等腰三角形的腰长为13 cm，底边长为10 cm，则它的面积为(　　) A.30 cm2 B.130 cm2 C.120 cm2 D.60 cm2 2.放学以后，小丽和小红从学校出发，分别沿东南方向和西南方向回家.若小丽和小红行走的速度都是40 m/min，小丽走了15 min回到家，小红走了20 min回到家，则小丽家和小红家间的距离为(　　 ) A.600 m B.800 m C.1 000 m D.不确定 3.直角三角形两直角边长分别为8 cm，15 cm，则斜边上的高为　　　　. 4.某农舍的大门是一个木制的矩形栅栏，它的高为2 m，宽为1.5 m，现在需要在相对的顶点间用一块木板加固，则这块木板的长为　　　　. 5.如图7，高速公路的同侧有A，B两个村庄，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AA1＝2 km，BB1＝4 km，A1B1＝8 km.现要在高速公路上A1B1内设一个出口P，使A，B两个村庄到P的距离之和最短，求这个最短距离之和. 图7 课后提升 在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c.若∠C＝90°，如图8①，根据勾股定理，有a2+b2＝c2.若△ABC不是直角三角形，而是如图8②和图8③所示的锐角三角形和钝角三角形.请类比勾股定理，猜想a2+b2与c2的关系，并说明理由. 　　　　　　 1 　　　　　　② 　　　　　　　　③ 图8 反思感悟 我的收获：                  我的易错点：                  参考答案 当堂达标 1.D　2.C　3. cm　4.2.5 m 5.解：如图9，作点B关于MN的对称点B′， 连接AB′交A1B1于点P，连接BP. 则AP+BP＝AP+PB′＝AB′， 易知点P即为到点A，B距离之和最短的点. 过点A作AE⊥BB′于点E， 则AE＝A1B1＝8 km，B′E＝AA1+BB1＝2+4＝6(km). 由勾股定理，得B′A2＝AE 2+B′E 2＝82+62， ∴ AB′＝10 km，即AP+BP＝AB′＝10 km. 故出口P到A，B两村庄的最短距离之和是10 km. 图9 课后提升 解：(1)如图10①，a2+b2>c2.理由如下： 过点A作BC边上的高AD，在Rt△ABD和Rt△ACD中，设CD＝x， 则b2-x2＝AD2＝c2-(a-x)2. 整理得a2+b2＝c2+2ax. ∵ 2ax>0，∴ a2+b2>c2. 　　 2 　　　　　　　　② 图10 (2)如图10②，a2+b2<c2.理由如下： 过点B作AC边上的高BD，在Rt△ADB和△BDC中，设CD＝x， 则c2-(b+x)2＝BD2＝a2-x2， 整理得a2+b2＝c2-2bx. ∵ 2bx>0，∴ a2+b2<c2. 学科网（北京）股份有限公司 $