第02讲 正弦定理和余弦定理12种常见考法归类-【暑假自学课】2023年新高二数学暑假精品课（人教A版2019必修第二册）

第02讲 正弦定理和余弦定理12种常见考法归类 通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题． 1.正弦定理、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆的半径，则 正弦定理 余弦定理 文字 语言 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等. 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. 公式 ＝＝. a2＝b2＋c2－2bccosA， b2＝a2＋c2－2cacosB， c2＝a2＋b2－2abcosC. 常见 变形 (1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC. (2)sinA＝，sinB＝，sinC＝. (3)三角形的边长之比等于对应角的正弦比，即a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC. (4)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA. (5)大边对大角 大角对大边 (6)合分比： (1) cosA＝， cosB＝， cosC＝. (2) ， ， 2. 三角形内角和及三角形常见重要关系 (1)内角和定理：，进而有＝－等式子 (2)三角函数关系：① 同理有：，. ②； ③斜三角形中， ④； (3)三角形中的射影定理：在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B． (4)角平分线定理：三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例. 即若AD为∠A的角平分线，则有比例关系：＝. 3. 三角形常用面积公式 (1)S＝a·ha(ha表示边a上的高). (2)S＝absinC＝acsinB＝bcsinA. (3)（r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r. ） (4)S＝，即海伦公式，其中p＝(a＋b＋c)为△ABC的半周长. (5)其中 4. 解三角形中的常用术语 (1)仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①). (2)方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②). (3)方向角：相对于某一正方向的水平角. 北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③). 北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向. 南偏西等其他方向角类似. (4)坡角与坡度：坡角指坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角). 坡度指坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度，i＝tanθ). 坡度又称为坡比. 1、正弦定理之齐次式结构 结构特点：每一项中都有边或sin角且次数一致，即可实现边和对应sin角的互化 结构示例： （1）整式齐次式： ①边的齐次式 ②sin角的齐次式 （2）分式齐次式： 2、拆角合角技巧 1、化简后的式子同时含有三个角时，解题思路是减少角的个数，方法主要有以下两种 ①合角 如： ②拆角——拆单角（“单身狗角”） 如： 注：（1） ，， （2）， （3）中 ① ②（舍去） ① ② ，则或 （4） 射影定理 3、三角形最值问题 三角形中角度是最基础的要素之一,围绕角度展开的范围问题主要有两大考查内容:一方面对角度大小范围做出考查;另一方面对角度的正余弦值范围进行提问.解题难度系数并不大,但准确高效地解题还取决于对三角形内角和特点是否考虑周到. （一）角度范围问题 求解三角形的角度范围问题,常见解题思路为:(1)对所给条件做出分析,根据条件特点选择合适定理表达所求角度,若已知边长值较多则考虑余弦定理,已知角度大小则考虑正弦定理;(2)根据角度的具体表达式结构特点,讨论有关变量的具体定义域;(3)选择三角函数求值域或基本函数求值域方式,在所求定义域内求得对应值域,即可得到问题所求的角度相关范围大小. （二）边长范围问题 边长是组成三角形的另一重要元素,因此与三角形边长有关的范围问题也十分常见.由于这一类范围问题求解并不复杂,故以选择形式或填空形式出现较为多见.求解这类与边长有关的范围问题,正余弦定理的灵活运用成为解题的关键步骤,常见的解答思路一般表现为:(1)根据已知条件的特点,选择合适的定理并代人具体值,得到与问题所求的对应关系等式;(2)根据关系等式以及三角形三边之和、内角和关系特点,得到具体关系等式或不等式;(3)通过运算,求出问题所求边长对应具体取值范围. （三）面积范围问题 针对三角形面积进行提问的取值范围问题,属于中等难度的一类解三角形问题,可在选择填空或解答题中遇见其“身影”.解答这类问题,主要思路在于借助公式将面积问题等价转化为函数求值域或基本不等式求最值,进而