第21章 二次函数与反比例函数 考前复习笔记-【教材解读】2023秋九年级上册初三数学（沪科版)

数学　九年级　上册 ９０　 0  0 考前复习笔记 请从右表中选择正确的关键词,将其对应选项代号填入左侧框图中相应的横线上． 答案:①E　②A　③F　④H　⑤G　⑥C　⑦C　⑧G　⑨B　⑩D　􀃊􀁉􀁓G　􀃊􀁉􀁔C　􀃊􀁉􀁕I 􀃊􀁉􀁖J　􀃊􀁉􀁗K　􀃊􀁉􀁘L 第２１章　二次函数与反比例函数 ９１　 0  0 　 　 　 专题一 　 二次函数y＝ax２＋bx＋c (a≠０)的图象特征与a,b, c及b２－４ac的符号的关系 的综合应用 　　抛物线y＝ax２＋bx＋c(a≠０)与其 系数a,b,c及判别式b２－４ac的符号有 着密切的联系．它们之间的相互制约关系 如下表所示: 系数及判别式的特征 图象的特征 a a＞０ 开口方向向上 a＜０ 开口方向向下 b b＝０ 对称轴为y 轴 ab＞０ 对称轴在y 轴左侧 ab＜０ 对称轴在y 轴右侧 c c＝０ 经过原点 c＞０ 与y 轴正半轴相交 c＜０ 与y 轴负半轴相交 b２－ ４ac b２－４ac＝０ 与x 轴有唯一交点 (即顶点) b２－４ac＞０ 与x 轴有两个交点 b２－４ac＜０ 与x 轴没有交点 y xO 3 11 【例１】抛物线y＝ax２＋ bx＋c(a≠０)的对称轴 为直线x＝１,与x 轴的 一个交点坐标为(－１, ０),其部分图象如图所 示,下列结论: ①４ac＜b２;②方程ax２＋bx＋c＝０的 两个根是x１＝－１,x２＝３;③３a＋c＞ ０;④ 当 y＞０ 时,x 的 取 值 范 围 是 －１≤x＜３;⑤当x＜０时,y 随x 增大 而增大． 其中结论正确的个数是 (　　) A．４　　　B．３　　　C．２　　　D．１ 解析 因为抛物线与x 轴有２个交点,所 以b２－４ac＞０,所以①正确; 因为抛物线的对称轴为直线x＝１,而 点(－１,０)关于直线x＝１的对称点的 坐标为(３,０),所以方程ax２＋bx＋c＝ ０的两个根是x１＝－１,x２＝３,所以② 正确; 因为x＝－ b ２a＝１ ,即b＝－２a,而当 x＝－１时,y＝０,即a－b＋c＝０,所以 a＋２a＋c＝０,即３a＋c＝０,所以③ 错误; 因为抛物线与x 轴的两个交点坐标分 别为(－１,０),(３,０),所以当－１＜x＜ ３时,y＞０,所以④错误; 因为抛物线的对称轴为直线x＝１,所 以当x＜０时,y 随x 增大而增大,所 以⑤正确． 故选B． 答案 B  a,b,c与二次函数图象间的对应关系 二次函数y＝ax２＋bx＋c(a≠０) 中,a,b,c的符号及它们间的关系由抛物 线的开口方向、对称轴、抛物线与坐标轴 的交点等确定．由a,b,c的符号及它们间 的关系,也可确定抛物线的开口方向、对 称轴、抛物线与坐标轴的交点等． 数学　九年级　上册 ９２　 0  0 　 专题二　 用待定系数法求二次函数 的表达式 　　二次函数的表达式有三种形式: (１)一般式:y＝ax２＋bx＋c(a≠０); (２)顶点式:y＝a(x＋h)２＋k(a≠０); (３)交点式:y＝a(x－x１)(x－x２)(a≠ ０),其中x１,x２ 为抛物线与x 轴交点的 横坐标． 利用待定系数法求二次函数的表达 式时,应根据不同的条件选取适当的表 达式形式． 【例２】已知抛物线经过(１,０),(３,０),(０, ３)三 点,求 该 抛 物 线 对 应 的 函 数 表 达式． 解 方法１:设抛物线对应的函数表达式 为y＝ax２＋bx＋c,把三点的坐标分 别代入,得 a＋b＋c＝０, ９a＋３b＋c＝０, c＝３, ì î í ï ï ï ï 解得 a＝１, b＝－４, c＝３． ì î í ï ï ï ï 故抛物线对应的函数表达式为y＝ x２－４x＋３． 方法２:设抛物线对应的函数表达式为 y＝a(x－x１)(x－x２), 由题意,知x１＝１,x２＝３, 故y＝a(x－１)(x－３)． 因为抛物线过点(０,３),所以３＝a× (－１)×(－３),得a＝１．所以抛物线对 应的函数表达式为y＝(x－１)(x－３)＝ x２－４x＋３． 方法３:设抛物线对应的函数表达式为 y＝a(x＋h)２＋k．由抛物线过点(１, ０),(３,０),知抛物线的对称轴为直线 x＝２,故h＝－２,故y＝a(x－２)２＋k． 将点(１,０),(０,３)代入上式, 得 ０＝a×(１－２)２＋k, ３＝a×(－２)２＋k,{ 解得 a＝１, k＝－１．{ 故抛物线对应的函数表达式为y＝ (x－２)２－１＝x２－４x＋３． " 灵活求解二次函数表达式 用待定系数法求解二次函数表达 式时,应根据题目条件,灵活选用简便 的形式: ①已知三点坐标,选用一般式; ②已知顶点坐标,选用顶点式; ③已知抛物线与横轴交点坐标,选用 交点式．