第21章 方法专题 二次函数中的线段、面积最值问题及解法-【教材解读】2023秋九年级上册初三数学（沪科版)

数学　九年级　上册 ８４　 0  0 方法专题 一、线段最值问题 １．单独线段的最值问题 平行于坐标轴的线段的最值问题,常常 用线段两端点的坐标差表示线段长对 应的函数表达式,然后运用二次函数 的性质求最值．解决这类问题的关键如 下:①确定线段长对应的函数表达式, 当线段平行于y 轴时,用上端点的纵坐 标减去下端点的纵坐标;当线段平行于 x 轴时,用右端点的横坐标减去左端点 的横坐标;②确定函数的最值,注意函 数自变量的取值范围． 【例１】如图,抛物线y＝x２＋bx＋c过点 A(３,０),B(１,０),交y 轴于点C,P 是 该抛物线上一动点,点P 从点C 沿抛 物线向点A 运动(点P 不与点A,C 重 合),过点P 作PD∥y 轴交直线AC 于点D． (１)求抛物线对应的函数表达式; (２)求点P 在运动的过程中线段PD 长度的最大值． 思路分析 知条件　抛物线y＝x２＋bx＋c 过点 A,B,P 是该抛物线上一动 点,PD∥y 轴． 明方法　先表示出 PD 的长度,再根 据求二次函数的最值的方法 求解． 解 (１)因为抛物线y＝x２＋bx＋c 过点 A(３,０),B(１,０), 所以 ９＋３b＋c＝０, １＋b＋c＝０,{ 解得 b＝－４, c＝３,{ 所以抛物线对应的函数表达式为y＝ x２－４x＋３． (２)令x＝０,则y＝３, 所以点C 的坐标为(０,３), 所以直线 AC 对应的函数表达式为 y＝－x＋３． 设点P 的坐标为(x,x２－４x＋３)． 因为PD∥y 轴, 所以点D 的坐标为(x,－x＋３), 所以PD＝(－x＋３)－(x２－４x＋３)＝ －x２＋３x＝－ (x－ ３ ２) ２ ＋ ９ ４ , 所以当x＝ ３ ２ 时,线段PD 的长度取得 最大值 ９ ４． ２．线段和的最值问题 这类问题一般是已知两个定点和一条 定直线,然后在定直线上确定一点,使 第２１章　二次函数与反比例函数 ８５　 0  0 得这个点到两定点的距离和最小．其变 形问题有三角形周长最小或四边形周 长最小等． 解决这类问题的方法是作其中一个定 点关于已知直线的对称点,连接对称 点与另一个定点,它们与已知直线的 交点即为所求的点． 【例２】如图,在平面直角坐标系中,抛物 线y＝ax２＋２x＋c与x轴交于A(－１, ０),B(３,０)两点,与y 轴交于点C,D 是该抛物线的顶点． (１)求抛物线对应的函数表达式和直 线AC 对应的函数表达式; (２)在y 轴上找一点M,使△BDM 的 周长最小,并求出点 M 的坐标． 思路分析 知条件　抛物线y＝ax２＋２x＋c与x 轴交于A,B 两点,与y 轴交 于 点 C,D 是 该 抛 物 线 的 顶点． 明方法　作点 B 关于y 轴的对称点 B′,连接DB′,DB′与y 轴的 交点即为M,求出直线 DB′ 对应的函数表达式即可求出 点M 的坐标． 解 (１)由题意可知,抛物线对应的函数表 达式可以转化为y＝a(x＋１)(x－３), 则y＝ax２－２ax－３a＝ax２＋２x＋c, 所以－２a＝２,解得a＝－１, 所以抛物线对应的函数表达式为y＝ －x２＋２x＋３． 当x＝０时,y＝－x２＋２x＋３＝３, 所以点C 的坐标为(０,３)． 设直线AC 对应的函数表达式为y＝ px＋q,把点A(－１,０),C(０,３)的坐 标代入,得 －p＋q＝０ , q＝３,{ 解得 p＝３, q＝３,{ 所以直线AC 对应的函数表达式为 y＝３x＋３． (２)由(１),得抛物线对应的函数表达式 为y＝－x２＋２x＋３＝－(x－１)２＋４, 所以顶点D 的坐标为(１,４)． 如图,作点B 关于y 轴的对称点B′,连 接DB′,交y轴于点M,则B′(－３,０), 所以 MB＝MB′,所以 MB＋MD ＝ MB′＋MD＝DB′,此时,MB＋MD 的 值最小,而BD 的值不变, 所以△BDM 的周长最小． 由点B′的坐标为(－３,０),点 D 的坐 标为(１,４),易得直线DB′对应的函数 表达式为y＝x＋３． 当x＝０时,y＝x＋３＝３,所以点M 的 坐标为(０,３),即点 M 与点C 重合． ３．线段差的最值问题 基本原理是三角形任何两边之差小于 第三边．求解时,先根据原理确定线段 差取最值时的图形,再根据已知条件 求解． 数学　九年级　上册 ８６　 0  0 【例３】如图,在平面直角坐标系中,A, B,C 分别为坐标轴上的三个点,且 OA＝１,OB＝３,OC＝４． (１)求经过A,B,C 三点的抛物线对应 的函数表达式． (２)在平面直角坐标系中是否存在一 点P,使得以A,B,C,P 为顶点的四 边形是菱形? 若存在,请求出点P 的 坐标;若不存在,请说明理由． (３)已知点 M 为该抛物线上一动点 (点 M