23.2 解直角三角形及其应用-【教材解读】2023秋九年级上册初三数学（沪科版)

数学　九年级　上册 １８４　 0  0 ２３．２　解直角三角形及其应用   > M (１)在 直 角 三 角 形 中,如 果 知 道 了 五 个 元 素 (三 边、两 锐 角)中 的 两 个 元 素 (至 少 有 一 个 元 素 是 边),就 可 以 求 出 其 余 的 三个元素． (２)解直角三角形就是利 用已 知 元 素 把 剩 余 的 未 知元素求出来的过程,不 是只 求 单 独 的 一 条 未 知 边或一个未知角． U? U  L>F + DD >U !L 知识点一　解直角三角形 １．直角三角形中的边角关系 A B C a b c 如图,在 Rt△ABC 中,∠C＝９０°,∠A, ∠B,∠C 的对边分别为a,b,c,则有下 列关系: 三边关系 a２＋b２＝c２ 锐角关系 ∠A＋∠B＝９０° 边角关系 sinA＝ a c ,cosA＝ b c ,tanA＝ a b ２．解直角三角形 在直角三角形中,除直角外,由已知元素求出未知元 素的过程,叫做解直角三角形． A B Ca bc 60° 【例１】如图,在Rt△ABC 中,∠C＝９０°,∠B＝ ６０°,a＝４,解这个直角三角形． 解 ∠A＝９０°－∠B＝３０°．由tanB＝ b a ,得 b＝a􀅰tanB＝４×tan６０°＝４３． 由cosB＝ a c ,得c＝ a cosB＝ ４ cos６０°＝８． 解直角三角形时,已知一边和 一角求另一边的原则 已知直角三角形的一边和一角求另一边时,应选 择适当的边角关系,计算边时可按“有斜用弦,无斜用 切”的原则选择,即如果与斜边有关,那么就用正弦或 余弦;如果与斜边无关,那么就用正切．遵循“尽量用 乘不用除”的原则． 第２３章　解直角三角形 １８５　 0  0 知识点二　解直角三角形在实际问题中的应用 １．解直角三角形中常用的有关概念 (１)仰角和俯角:在进行高度测量时,由视线与水平线 所夹的角中,当视线在水平线上方时叫做仰角;当视 线在水平线下方时叫做俯角．如图①所示． !3 >3 >3 > I  3 > ① 　　 > 45°30° A B O   ② (２)方向角:一般以观测者的位置为原点,将正北或正 南方向作为起始方向旋转到目标方向线所成的角(一 般指锐角)．如图②,点A 在北偏东３０°方向,点B 在 北偏西４５°方向,也称西北方向． (３)坡度和坡角． ２．解直角三角形在实际问题中的应用 在解决实际问题时,解直角三角形有着广泛的应用, 这就需要我们善于将某些实际问题中的数量关系转 化为直角三角形中的边、角关系,运用解直角三角形 的方法来求解． A B C D E 65° 37° 【例２】如图,AB 是长为１０m,倾斜角为３７° 的自动扶梯,平台BD 与大楼CE 垂直,且 与扶梯AB 的长度相等,在B 处测得大楼 顶部C 的仰角为６５°,求大楼CE 的高度 (结果保留整数)．( 参考数据:sin３７°≈ ３ ５ ,tan３７°≈ ３ ４ ,sin６５°≈ ９ １０ ,tan６５°≈ １５ ７ ) FA B C D E 65° 37° 解 如图,作BF⊥AE 于点F,则BF＝DE． 在Rt△ABF 中,sin∠BAF＝ BF AB , 所以BF＝AB􀅰sin∠BAF≈１０× ３ ５＝６ (m)． (１)仰角和俯角都是指视 线与水平线的夹角,是在 铅垂平面内的角． (２)方向角是在水平面内 的角,观 测 点 不 同,所 得 的方向角也不同,但各个 观测 点 的 南 北 方 向 线 是 互相平行的． 解直角三角形解决实际 问题的一般步骤 第１步:审,即 通 过 分 析 图 形 (没有 图 形 的 可 自 己 画 示 意 图),厘 清 已 知 元 素 和 未 知 元素; 第２步:找,找出有关的直角三 角形,或通过作辅助线构造有 关的直角三角形,把实际问题 转化为解直角三角形的问题; 第３步:解,根据直角三角形 中各元素(边、角)间的关系, 解这个直角三角形; 第 ４ 步:得,得 出 实 际 问 题 的答案． 数学　九年级　上册 １８６　 0  0 在Rt△CDB 中,tan∠CBD＝ CD BD , 所以CD＝BD􀅰tan６５°≈１０× １５ ７≈２１．４ (m)． 所以CE＝DE＋CD＝BF＋CD≈６＋２１．４≈２７(m)． 答:大楼CE 的高度约是２７m． 常考题型解读 １．如图,在 Rt△ABC 中,∠C＝ ９０°,BC＝ ６,AC＝ ２,解 这个直角三角形． A C B 题型一　解直角三角形 直接解直角三角形 【例１】在Rt△ABC 中,∠C＝９０°,∠A,∠B,∠C 的对 边分别为a,b,c,解下列直角三角形: (１)c＝８,∠A＝６０°;　(２)b＝２２