23.1 锐角的三角函数-【教材解读】2023秋九年级上册初三数学（沪科版)

第２３章　解直角三角形 １６７　 0  0   - @   - @   第２３章　解直角三角形 ２３．１　锐角的三角函数 ２３．１．１　锐角的三角函数 知识点一　正切 如图,在Rt△ABC 中,锐角A 的对边与邻边的比就 是∠A 的正切,记作tanA,即tanA＝ ∠A 的对边 ∠A 的邻边＝ BC AC＝ a b． 【例１】在 Rt△ABC 中,∠C＝９０°,若斜边AB 是直角 边BC 的３倍,则tanB 的值是 (　　) A． １ ３　　　　B．３　　　　C． ２ ４　　　　D．２２ 解析 设BC＝x(x＞０),则AB＝３x．由勾股定理,得 AC＝ AB２－BC２ ＝２２x． 由正切的定义,得tanB＝ AC BC＝ ２２x x ＝２２． 故选 D． 答案 D 在直角三角形中,求一个锐角的 正切值的方法 　　在直角三角形中,一个锐角的正切值等于其对边 与邻边的比,已知这两边的长度就可以求出这个比, 已知这两边的倍数关系也可以求出它们的比,所以不 必刻意去求边的长度． 为了准确找出一个锐角的对边和邻边,在没有给 出图形的情况下,可以画出图形,并标出相应的字母． A C B
A+D a
A+ED b  D c (１)“tanA”是整体符号, 不能理解为“tan􀅰A”． (２)tanA 中的“A”表示 “∠A”,一般省略“∠”,但 用三个字母表示角时,不 能省略“∠”． (３)“对边”与“邻边”都是 对直 角 三 角 形 中 的 角 而 言的,要指明是哪一个角 的“对边”与“邻边”． (４)正切的本质是直角三 角形 中 两 条 直 角 边 的 长 度的 比 值,它 是 数 值,没 有单位,其大小只与角的 大小有关,而与其所在的 直角三角形的大小无关． 数学　九年级　上册 １６８　 0  0 (１)坡 角 是 个 角,坡 度 是 坡 角 的 正 切 值,是 个 比 值,没有单位． (２)坡度一般化简成１∶ m 的形式． (３)坡度(i＝tanα)越大, 坡角α越大,坡面就越陡． ECEKU -E>+E C 知识点二　坡度、坡角 １．坡度 i=h ? l h l α 如图,坡面的铅直高度h 和水平长度l 的比叫做坡面的坡度(或坡比),记作i, 即i＝ h l (坡度通常写成h∶l的形式)． ２．坡角 如图,坡面与水平面的夹角就是坡角(或称倾斜角), 记作α． ３．坡度与坡角的关系 i＝ h l＝tanα． 【例２】一河堤横断面示意图如图所示,堤高为５m,迎 水坡AB＝１０m,则迎水坡的坡度i为　　　　． A B α A BC α 解析 过点A 作AC 垂直于水平线,交 水平线于点C,如图．在Rt△ABC 中, AC＝５m,AB＝１０m,由勾股定理, 得BC＝ AB２－AC２ ＝ １０２－５２ ＝ ５３(m),所以i＝ AC BC＝ ５ ５３ ＝ １ ３ ． 答案１∶ ３ 构造直角三角形,解决坡度问题 正切是在直角三角形的条件下定义的,当题目中 没有直角三角形时,就需要作辅助线构造直角三角 形．在坡度问题中,一般是过斜面的上顶点作水平线 的垂线． 如果铅直高度和水平长度有一边未知,通常先用 勾股定理求出未知边,再利用公式i＝tanα＝ h l 求解． 第２３章　解直角三角形 １６９　 0  0 知识点三　正弦、余弦、锐角的三角函数 １．正弦、余弦 语言表述 表示方法 图形 在 Rt△ABC 中,锐 角A 的对边与斜边 的比是∠A 的正弦 sinA ＝ ∠A 的对边 斜边 ＝ BC AB ＝ a c 在 Rt△ABC 中,锐 角A 的邻边与斜边 的比是∠A 的余弦 cosA ＝ ∠A 的邻边 斜边 ＝ AC AB ＝ b c A C B a b c ２．锐角的三角函数 锐角A 的正弦、余弦、正切叫做锐角A 的三角函数． 【例３】如图,在 Rt△ABC 中,∠C＝９０°,AC＝８,BC＝ ４．求tanA,sinA,cosA 的值． A C B 解 因为∠C＝９０°,AC＝８,BC＝４, 所以AB＝ AC２＋BC２ ＝ ８２＋４２ ＝４５． 所以tanA＝ BC AC＝ １ ２ , sinA＝ BC AB＝ ５ ５ , cosA＝ AC AB＝ ２５ ５ ． (１)锐角的三角函数是针对锐 角定义的,没有单位,其大小 只与角的大小有关,与边的长 短无关． (２)“sinA”“cosA”与“tanA” 一样,都是整体符号,不能理 解为“sin􀅰A”“cos􀅰 A”． 锐角A 的三角函数的取 值范 围:０＜sinA ＜１,０＜ cosA＜１,tanA＞０． >
A +> Usin
A cos
A
tan
A F - U 数学　九年级　上册 １７０　 0  0