22.5 综合与实践 测量与误差-【教材解读】2023秋九年级上册初三数学（沪科版)

第２２章　相似形 １４５　 0  0 ２２．５　综合与实践　测量与误差 知识点　实际问题中的测量问题 １．测量物体高度的常用方法 方法 原理 操作图 操作说明 相关计算式 利用阳光 下的影子 (如 测 量 旗 杆 AB 的高度) 在同一时 刻,物 高 与影长成 正比 A B C DE (１)需 测 参 照 物 (人)的高度CD 和 其影长ED; (２)测 量 被 测 物 体 (旗杆)的影长BD △ABD∽△CDE, AB BD＝ CD ED , 即AB＝ CD ED 􀅰BD 利用标杆 (如 测 量 旗 杆 AB 的高度) 构造相似 三 角 形, 把被测物 体分成两 部分求解 C F H G D E A B (１)人眼、标杆顶端 和被测物体顶端三 点共线; (２)需 测 量 人 眼 高 CD、标杆高GF、人 与被测物体的距离 CE 和人与标杆的 距离CH △ACE∽△GCH, AE GH＝ CE CH , 即 AE ＝ CE CH 􀅰 GH,GH ＝GF－ CD,AB ＝AE ＋ EB＝AE＋CD 利用镜子 的 反 射 (如 测 量 旗 杆 AB 的高度) 根据反射 角等于入 射角构造 相似三角 形　 C DE A A′ B (１)人来回移动,直 至恰好在镜子里看 到旗杆顶端; (２)需 测 量 人 眼 高 CD、人脚到镜子的 距离DE 及旗杆底 端 到 镜 子 的 距 离BE △ABE∽△CDE, AB CD＝ BE DE , 即AB＝ BE DE 􀅰CD 利用测角 器 (如 测 量旗杆AB 的高度) 构造含特 殊角的直 角三角形 求解 CF E M A B (１)通 过 测 角 器 观 察旗杆顶 端 A,使 测 角 器 的 示 数 为 ６０°(或４５°,３０°); (２)需 测 量 人 眼 到 旗 杆 的 距 离 ME、 人眼高EF AB＝AM＋BM＝ ３ME＋EF (１)利用相似三角形的有 关知 识 解 决 测 量 问 题 的 核心是构造相似三角形, 在构造相似三角形时,被 测对 象 一 般 是 其 中 一 个 三角形的一边． (２)测量中允许有正常的 误差,左表中从上往下第 一种、第三种方法的误差 较小,第 二 种、第 四 种 方 法的误差较大． 数学　九年级　上册 １４６　 0  0 “三步法”求不易直接 测量的宽 第１步:构造“A”字型或 “８”字型的相似三角形; 第 ２ 步:测 量 出 必 要 的 数据; 第３步:根据相似三角形 的性质求解． C A D E B 【例１】如图(示意图),小明在测 量楼高时,先测出楼房落在地 面上的影长BA 为１５m,再在 A 处竖立一根高２m 的标杆, 测得标杆的影长AC 为３m,则楼高为 (　　) A．１０m　　　B．１２m　　　C．１５m　　　D．２２．５m 解析 因 为 太 阳 光 线 是 平 行 光 线,所 以 ∠DCA ＝ ∠EAB．又因为∠DAC＝∠EBA＝９０°,所以△CDA∽ △AEB,所以 DA EB＝ AC BA ,即 ２ EB＝ ３ １５ ,解得EB＝１０m． 故选 A． 答案 A 利用标杆测量物体高度的技巧 因为同一时刻物高与影长成正比,所以测量物体 的高度问题就可转化为三角形相似问题,然后利用相 似三角形对应边成比例构造方程求解． ２．利用相似三角形测量不易直接测量的物体宽度的方 法(拓展) 方法 原理 操作图 操作说明 相关计算式 求 不 易 直 接 测 量 的 宽(如 河宽、 池 塘 的宽) 构造相 似三角 形,将 未知长 用已知 长表示 A C DE B (１)保证A,B,C 三 点共线,A,E,D 三 点共 线,BE∥CD; (２)测 得 BC,BE, CD 的长 △ABE∽△ACD, BE CD＝ AB AB＋BC , 即AB＝ BE􀅰BC CD－BE A B C D O (１)保证A,O,C 三 点共线,B,O,D 三 点共 线,AB∥CD; (２)测 得 BO,CD, DO 的长 △ABO∽△CDO, AB CD＝ BO DO , 即AB＝ BO􀅰CD DO B E C D A (１)保证A,C,E 三 点共线,B,D,E 三 点共 线,AB∥CD; (２)测 得 BD,DE, CD 的长 △ABE∽△CDE, AB CD＝ BD＋DE DE ,即 AB＝ (BD＋DE)􀅰CD DE 第２２章　相似形 １４７　 0  0 A B E C D 【例２】如图,为估算某河的宽度,在河 对岸选定一个目标点A,在近岸取点 B,C,D,使得AB⊥BC,CD⊥BC, 点E 在BC 上,并且点A,E,D 在同 一条 直 线 上．若 测 得 BE ＝２０ m, CE＝１０m,CD＝２０m,则河的宽度AB 等于 (　　) A．６０m