22.3 相似三角形的性质-【教材解读】2023秋九年级上册初三数学（沪科版)

数学　九年级　上册 １３０　 0  0 ２２．３　相似三角形的性质 (１)应用相似三角形的性 质时,一定要注意“对应” 二 字,高 是 对 应 边 上 的 高,中线是对应边上的中 线,角平分线是对应角的 平分线． (２)两个相似三角形的周 长比 等 于 它 们 的 面 积 比 的算术平方根．  A+! ,!U D +PU +! ,!U J U 0UL! UDJ5UL/ +UA
U 知识点　相似三角形的性质 １．由相似三角形的定义可知相似三角形的基本性质 相似三角形对应角相等,对应边成比例． ２．相似三角形的性质定理 名称 文字语言 数学语言 定理１ 相似三角形对应 高的比、对应中 线的比和对应角 平分线的比都等 于相似比 定理２ 相似三角形周长 的比等于相似比 定理３ 相似三角形面积 的比等于相似比 的平方 如 图,△ABC ∽ △A′B′C′,且 AB A′B′＝k．AD 与A′D′,AE 与 A′E′,AF 与A′F′分别是这两 个三角形对应的中线、角平分线 和高,则 (１) AD A′D′＝ AE A′E′＝ AF A′F′＝k ; (２) AB＋BC＋AC A′B′＋B′C′＋A′C′＝k ; (３) S△ABC S△A′B′C′ ＝k２ A B DE F C　 A′ D′ B′ E′F′C′ 【例１】若两个相似三角形的相似比是１∶２,则这两个 相似三角形对应角平分线的比是　　　　,对应高的 比是　　　　,对应中线的比是　　　　． 答案１∶２　１∶２　１∶２ A B D E C 【例２】如 图,在 △ABC 中,D,E 分 别 是 AB,AC 的中点,则△ADE 与△ABC 的 周长比是　　　　,面积比是　　　　． 解析 因为D,E 分别是AB,AC 的中点,所以 DE∥ BC,AD∶AB＝１∶２,所以△ADE∽△ABC,所以 第２２章　相似形 １３１　 0  0 △ADE 与 △ABC 的 周 长 比 是 １∶２, S△ADE S△ABC ＝ ( AD AB ) ２ ＝ １ ４． 答案１∶２　１∶４ 常考题型解读 题型一　相似三角形的判定与性质的综合应用 A B D E F G H C 【例１】如图,△ABC 为锐角三角形,AD 是BC 边上的高,正方形EFGH 的一边 FG 在BC 上,顶点 E,H 分别在AB, AC 上,已知BC＝４０cm,AD＝３０cm． (１)求证:△AEH∽△ABC． (２)求这个正方形的边长与面积． 思路分析 正方形对 边平行 → △AEH∽ △ABC → 相似 比 → 边长、 面积 (１)证明 因为四边形EFGH 是正方形, 所以EH∥BC,所以△AEH∽△ABC． A B D E F G H C M (２)解 如图,设AD 与EH 交于点M． 因为∠EFD＝∠FEM＝∠FDM＝９０°, 所以四边形EFDM 是矩形, 所以EF＝DM． 设正方形EFGH 的边长为xcm． 因为△AEH∽△ABC, 所以 EH BC ＝ AM AD ,所以x ４０＝ ３０－x ３０ , 所以x＝ １２０ ７ ,所以正方形EFGH 的边长为 １２０ ７ cm , 面积为 １４４００ ４９ cm ２． １．如图,在平行四边形ABCD 中,E 是AB 上的一点,且 AE∶EB＝２∶３,CE 与DB 交于点O． (１)求△EOB 与△COD 的 周长比; (２)如果S△EOB＝６,求S△COD． A CD E O B 数学　九年级　上册 １３２　 0  0 ２．如图,有一块三角形的土地, 它的一条边BC＝１００m,BC 边上的高AH＝８０m． A B C D M G E H F 某单位要沿着边BC 修一座 底面是矩形DEFG 的大楼, D,G 分别在边AB,AC 上． 若 大 楼 的 宽 是 ４０ m (即 DE＝４０m),求这个矩形的 面积． 4 利用相似求正方形边长、面积 　　要求正方形的面积,需要知道正方形的边长,而 要求正方形的边长,需要利用相似三角形的性质构造 比例式．因此,把正方形的边长和三角形的高联系起 来是解答本题的关键． 题型二　利用相似三角形的性质解决实际问题 【例２】某社区拟筹资金２０００元,计划在一块上、下底 分别是１０m,２０m 的梯形空地上种花(如图),他们 想在△AMD 和△BMC 地带种植单价为１０元/m２ 的花卉．当△AMD 地带种满花后,已经花了５００元, 请你预算一下:如果继续在△BMC 地带种植同样的 花卉,那么资金是否够用? A D M CB 20 m 10 m 思路分析 知条件　总资金２０００元,梯形上、下底分别是１０m, ２０m,在△AMD 和△BMC 地带种植单价