22.2 相似三角形的判定-【教材解读】2023秋九年级上册初三数学（沪科版)

数学　九年级　上册 １１６　 0  0 ２２．２　相似三角形的判定 (１)对 应 性:用 字 母 表 示 两个三角形相似时,把表 示对 应 顶 点 的 字 母 写 在 对应位置上． (２)顺序性:相似三角形的 比 带 有 顺 序 性．例 如,将 △ABC 与 △A′B′C′的 相 似比记为k,则k＝ AB A′B′＝ BC B′C′＝ AC A′C′ ;将△A′B′C′ 与△ABC 的 相 似 比 记 为 k′,则k′＝ A′B′ AB ＝ B′C′ BC ＝ A′C′ AC ,且k′＝ １ k． (３)传 递 性:若 △ABC∽ △A′B′C′,△A′B′C′∽ △A″B″C″,则 △ABC ∽ △A″B″C″． (４)相似比为１的两个三 角形是全等三角形,三角 形全 等 是 三 角 形 相 似 的 特例． 知识点一　相似三角形 １．相似三角形的概念 两个三角形 对应角相等 对应边长度 的比相等 → 相似三角形 最简单的相似多边形 ↑ 对应边长度的比叫做相似比 ↓ ２．相似三角形的表示方法 如图,△ABC 和 △A′B′C′相 似,记 作 “△ABC ∽ △A′B′C′”,读作“△ABC 相似于 △A′B′C′”,符号 “∽”读作“相似于”． A B C C′ A′ B′ 【例１】如图所示,△ABC∽△ADE,AE＝５,EC＝３, BC＝７,∠A＝５５°,∠C＝４０°． A B C D E 求:(１)∠AED 与∠ADE 的度数; (２)DE 的长． 解 (１)因为△ABC∽△ADE, 所以∠AED＝∠C＝４０°,∠ADE＝∠B． 因为∠A＋∠B＋∠C＝１８０°, 所以∠B＝１８０°－∠A－∠C＝８５°． 所以∠ADE＝８５°． (２)因为△ABC∽△ADE,AC＝AE＋EC＝８, 所以 AE AC＝ DE BC ,即５ ８＝ DE ７ , 所以DE＝ ３５ ８． 第２２章　相似形 １１７　 0  0 知识点二　利用平行判定两三角形相似 文字语言 数学语言 平行于三角形一边的 直线与其他两边(或 两边的延长线)相交, 截得的三角形与原三 角形相似 如图,直线 DE∥BC,分别交△ABC 的另外两边(或另外两边的延长线)于 D,E 两点,则△ADE∽△ABC A B C D E A B C D E A B C DE ?M ,U- UL+, > !U*, >+U D! 4U! 3 JED3 K+D3 + !2 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 A B C M N 【例 ２】如 图,在 △ABC 中,点 M,N 分 别 在 △ABC 的 边 AC,BC 上,且AM＝３MC, MN ＝３,MN ∥ AB,则 AB＝　　　　． 解析 由 MN∥AB, 得△CMN∽△CAB, 所以 MN AB ＝ CM CA ＝ １ ４ , 所以AB＝４MN＝４×３＝１２． 答案１２ 知识点三　判定三角形相似的定理１ 文字语言 数学语言 如果一个三角形的两个 角分别与另一个三角形 的两个角对应相等,那 么这两个三 角 形 相 似 (两角分别相等的两个 三角形相似) 如图,在△ABC 与△A′B′C′中, 如果∠A＝∠A′,∠B＝∠B′,那 么△ABC∽△A′B′C′ A B C A′ B′ C′  　　两角相等的相似三角形的五大基本图形 (１)正“A”字型:如图①所示,若∠ADE＝∠B,则有 △ADE∽△ABC; (２)斜“A”字型:如图②所示,若∠CDE＝∠A,则有 △CDE∽△CAB; (１)在 利 用 平 行 判 定 三 角 形 相似时,只 需“平 行”这 一 个 条件,不必再用定义． (２)此 方 法 可 以 作 为 相 似 三 角形 判 定 定 理 的 预 备 定 理, 它通 过 平 行 证 三 角 形 相 似, 再由 相 似 证 对 应 角 相 等、对 应边成比例． (１)顶角(或底角)相等的 两个等腰三角形相似． (２)有一个锐角相等的两 个直角三角形相似． (３)任意两个等边三角形 相似． 数学　九年级　上册 １１８　 0  0 一般地,公共角、对顶角、 同角 (或 等 角)的 余 角 (或 补 角)都是相等的角,解题时应 注意挖掘题中的隐含条件． (１)利用该定理判定三角 形相似时,