21.5 反比例函数-【教材解读】2023秋九年级上册初三数学（沪科版)

数学　九年级　上册 ６２　 0  0  ２１．５　反比例函数   > M LU 6U 3U -B U L 6 U x k x k 反比例关系与反比例 函数的区别与联系 (１)若xy＝k(k 为常数, 且k≠０),则x,y 成反比 例关系,这里的x,y 既可 以代表单项式,又可以代 表多 项 式．例 如,若y－３ 与x＋１成反比例,则y－ ３＝ k x＋１ (k≠０)． (２)反比例关系不一定是反 比例函数,但反比例函数 中的两个变量一定成反比 例关系．例如,y＝ ２ x２ 表示y 与x２ 成反比例关系,但y 不是关于x 的反比例函数． 知识点一　反比例函数的概念 １．反比例函数需要满足的三个条件 (１)有两个变量y 与x,其中x 是自变量; (２)有比例系数k(k为常数,且k≠０); (３)变量x,y 满足关系y＝ k x． ２．反比例函数表达式的三种形式 (１)y＝ k x (k为常数,且k≠０); (２)y＝kx－１(k为常数,且k≠０); (３)xy＝k(k为常数,且k≠０)． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋注意:(１)反比例函数表达式中,x,y,k 均不为０; (２)在实际问题中,应根据具体情况来确定x,y 的 取值范围． 【例１】下列函数表达式中,哪些是反比例函数? 是反比 例函数的,请指出比例系数k的值． (１)y＝２x－１;　(２)y＝ １ x ;　　(３)y＝ x ３ ; (４)xy＝６; (５)y＝ ２ ３x ; (６)y＝ ２ １＋x ; (７)y＝－ ３ x ; (８)y＝４x－１．   k 
  解 (２)(４)(５)(７)(８)是反比例函数,比例系数k 的值 分别为１,６, ２ ３ ,－３,４． 第２１章　二次函数与反比例函数 ６３　 0  0 　　判断一个函数是否为反比例函数,要紧扣概念, 不能只看表面形式,而要看是否能转化为反比例函 数表达式的三种形式:y＝ k x ,y＝kx－１,xy＝k,其中 k≠０． 知识点二　用待定系数法求反比例函数的表达式 解剖“待定系数法” 先根据变量之间的关系设出函数表达式,再代入 数据 列 出 关 于 待 定 系 数 的 方 程(组),解 这 个 方 程 (组),求出待定系数的值,从而使问题得到解决． 知识点三　反比例函数图象的画法 　反比例函数的图象,一般用描点法． 【例３】在同一平面直角坐标系内,画出反比例函数y＝ ４ x 和y＝－ ４ x 的图象．   > M 用待定 系 数 法 求 反 比 例 函数的表达式的实质是代入一 组对应值,解一元一次方程． 2U  43 U (１)列表时,自变量的取值可 选取绝对值相等但符号相反 的数值,这样既可简化计算, 又便于描点． (２)选取的点越多,画出的图 象越准确． (３)需用平滑的曲线顺次连接 各点,注意图象的对称性和无 限延伸性． ;&K%,U !A+F O x y 数学　九年级　上册 ６４　 0  0 (１)一般情况下,画反比例函 数图象时,要在图象上标明函 数表达式． (２)画反比例函数图象时,要注 意自变量的取值范围为x≠０, 因此不能将两个分支连起来． 在某些实际问题中,若自 变量的取值受到限制,则它的 图象就是整个反比例函数图 象的一部分．   > M 解 列表: x 􀆺 －４ －２ －１ １ ２ ４ 􀆺 y＝ ４ x 􀆺 －１ －２ －４ ４ ２ １ 􀆺 y＝－ ４ x 􀆺 １ ２ ４ －４ －２ －１ 􀆺 描点、连线,函数图象如图所示．   y   4x 利用对称性画反比例函数图象 　　利用对称性画反比例函数图象时,有如下两种 方法: (１)先用描点法画出y 轴一侧的反比例函数的图象, 再利用对称性(图象的两个分支关于原点O 对称)画 出另一侧的图象． (２)先画出反比例函数y＝－ k x 的图象,再沿x 轴(或 y 轴)翻转得到反比例函数y＝ k x 的图象． 知识点四　反比例函数的图象与性质 １．反比例函数y＝ k x (k 为常数,且k≠０)的图象叫做双 曲线． ２．反比例函数的图象与性质 一般形式 y＝ k x (k≠０) x,y 的取 值范围 x≠０,y≠０ k的符号 k＞０ k＜０ 第２１章　二次函数与反比例函数 ６５　 0  0