21.4 二次函数的应用-【教材解读】2023秋九年级上册初三数学（沪科版)

数学　九年级　上册 ５０　 0  0 ２１．４　二次函数的应用   > M (１)求函数表达式是解决 实际问题的关键环节． (２)将生活中的问题转化 为二次函数问题求解时, 要把握函数的性质与生活 中实际问题的对应关系． (３)有时需要建立适当的 平面直角坐标系．建系时, 要使求出的二次函数表达 式比较简单,以方便求解． 利用二次函数解决实际问题 的一般步骤 知识点　利用二次函数解决实际问题 二次函数在生产、生活中有着广泛应用．我们身边的许多 问题,如掷铅球问题、喷水池问题、拱桥问题、面积与采光 问题、销售问题等都可通过建立二次函数模型来解决． 【例】草莓是云南多地盛产的一 种水果,今年某水果销售店在 草莓销售旺季,试销售成本为 每千克２０元的草莓,规定试销 期间销售单价不低于成本单 价,也不高于每千克４０元,经 试销发现,销售量y(kg)与销售单价x(元)符合一次 函数关系,y 与x 之间的函数关系图象如图所示． (１)求y 与x 之间的函数表达式; (２)设该水果销售店试销草莓获得的利润为W 元,求 W 的最大值． 解 (１)设y 与x 之间的函数表达式为y＝kx＋b, 根据题意,得 ２０k＋b＝３００ , ３０k＋b＝２８０,{ 解得 k＝－２, b＝３４０,{ 所以y 与x 之间的函数表达式为y＝－２x＋３４０ (２０≤x≤４０)． (２)由已知,得W＝(x－２０)(－２x＋３４０) ＝－２x２＋３８０x－６８００ ＝－２(x－９５)２＋１１２５０． 因为－２＜０, 所以当x≤９５时,W 随x 的增大而增大． 因为２０≤x≤４０,    所以当x＝４０时,W 最大,最大值为 －２×(４０－９５)２＋１１２５０＝５２００(元)． 第２１章　二次函数与反比例函数 ５１　 0  0 4 　　利用二次函数解决实际问题的基本思路 (１)建立适当的平面直角坐标系; (２)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来; (３)用待定系数法求出抛物线对应的函数表达式; (４)利用二次函数的图象及性质去分析、解决问题． 常考题型解读 题型一　利用二次函数解决现实中的最值问题 面积最大问题 【例１】为了节省材料,某水产养殖户利用水库的岸堤 (岸堤足够长)为一边,用总长为８０m 的围网在水库 中围成了如图所示的①②③三块矩形区域,而且这三 块矩形区域的面积相等．设BC 的长度为x m,矩形 区域ABCD 的面积为y m２． (１)求y 与x 之间的函数表达式,并注明自变量x 的 取值范围． (２)当x 为何值时,y 有最大值? 最大值是多少? 思路分析 (１)把矩形区域ABCD 的面积用区域①②③ 的面积表示,求出函数表达式; (２)把函数表达式化成顶点式,利用二次函数的性质 求解． １．某中学课外兴趣活动小组 准备围建一个矩形苗圃园, 其中一边靠墙,另外三边用 长为３０m 的篱笆围成,已 知墙长为１８m(如图所示), 设这个苗圃园垂直于墙的 一边的长为x m． (１)若苗圃园的面积为７２m２, 求x． 数学　九年级　上册 ５２　 0  0 (２)若平行于墙的一边长不小 于８m,这个苗圃园的面积有 最大值和最小值吗? 如果有, 求出最大值和最小值;如果没 有,请说明理由． (３)当这个苗圃园的面积不小 于１００m２时,写出x 的取值 范围． ２．某公司销售一种商品,成本 为每件３０元,经过市场调 查发现,该商品的日销售量 y(件)与销售单价x(元)是 一次 函 数 关 系,其 销 售 单 价、日销售量的三组对应数 值如下表: 销售单价x/元 ４０ ６０ ８０ 日销售量y/件 ８０ ６０ ４０ 解 (１)方法１:设AE＝a,由题意,得AE􀅰AD＝２BE􀅰 BC,AD＝BC, 所以BE＝ １ ２a ,AB＝ ３ ２a． 由题意,得２x＋３a＋２× １ ２a＝８０ ,所以a＝２０－ １ ２x , 所以y＝AB􀅰BC＝ ３ ２a 􀅰x＝ ３ ２(２０－ １ ２x)x , 即y＝－ ３ ４x ２＋３０x,其中０＜x＜４０． 方法２:根据题意,得CF􀅰x＝ y ３ ,DF􀅰x＝ ２y ３ , 所以CF＝ y ３x ,DF＝ ２y ３x , 所以２x＋２× y ３x＋３× ２y ３x＝８０ , 整理,得y＝－ ３ ４x ２＋３０x,其中０＜x＜４０． (２)y＝－ ３ ４x ２＋３０x＝－ ３ ４ (x－２０)２＋３００． 因为－ ３ ４＜０ ,所以抛物线开口向下． 又因为０＜x＜４０,所以当x＝２０时,y 取最大值,最 大值为３００m２． "> 利用二次函数求实际问题中图形面积最值的步骤 利润最大问题 【例２】某企业积极响应政府“创新发展”的号召,研发了 一种新产品．已知研发、生产